Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdir Structured version   Unicode version

Theorem ipdir 16862
 Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f Scalar
phllmhm.h
phllmhm.v
ipdir.g
ipdir.p
Assertion
Ref Expression
ipdir

Proof of Theorem ipdir
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 Scalar
2 phllmhm.h . . . . . 6
3 phllmhm.v . . . . . 6
4 eqid 2435 . . . . . 6
51, 2, 3, 4phllmhm 16855 . . . . 5 LMHom ringLMod
653ad2antr3 1124 . . . 4 LMHom ringLMod
7 lmghm 16099 . . . 4 LMHom ringLMod ringLMod
86, 7syl 16 . . 3 ringLMod
9 simpr1 963 . . 3
10 simpr2 964 . . 3
11 ipdir.g . . . 4
12 ipdir.p . . . . 5
13 rlmplusg 16260 . . . . 5 ringLMod
1412, 13eqtri 2455 . . . 4 ringLMod
153, 11, 14ghmlin 15003 . . 3 ringLMod
168, 9, 10, 15syl3anc 1184 . 2
17 phllmod 16853 . . . . 5
183, 11lmodvacl 15956 . . . . 5
1917, 18syl3an1 1217 . . . 4
21 oveq1 6080 . . . 4
22 ovex 6098 . . . 4
2321, 4, 22fvmpt3i 5801 . . 3
2420, 23syl 16 . 2
25 oveq1 6080 . . . . 5
2625, 4, 22fvmpt3i 5801 . . . 4
279, 26syl 16 . . 3
28 oveq1 6080 . . . . 5
2928, 4, 22fvmpt3i 5801 . . . 4
3010, 29syl 16 . . 3
3127, 30oveq12d 6091 . 2
3216, 24, 313eqtr3d 2475 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  Scalarcsca 13524  cip 13526   cghm 14995  clmod 15942   LMHom clmhm 16087  ringLModcrglmod 16233  cphl 16847 This theorem is referenced by:  ipdi  16863  ip2di  16864  ipsubdir  16865  ocvlss  16891  lsmcss  16911  cphdir  19159 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849
 Copyright terms: Public domain W3C validator