MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdiri Unicode version

Theorem ipdiri 21368
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ipdiri  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem ipdiri
StepHypRef Expression
1 oveq1 5799 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) )
21oveq1d 5807 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C ) )
3 oveq1 5799 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
43oveq1d 5807 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( B P C ) ) )
52, 4eqeq12d 2272 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) ) ) )
6 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
76oveq1d 5807 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C ) )
8 oveq1 5799 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( B P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
98oveq2d 5808 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P C ) ) )
107, 9eqeq12d 2272 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) )
11 oveq2 5800 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
12 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
13 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
1412, 13oveq12d 5810 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2272 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) )
16 ip1i.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 ip1i.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
18 ip1i.4 . . 3  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
19 ip1i.7 . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
20 ip1i.9 . . 3  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21 eqid 2258 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
2216, 21, 20elimph 21358 . . 3  |-  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2316, 21, 20elimph 21358 . . 3  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2416, 21, 20elimph 21358 . . 3  |-  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2516, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24ipdirilem 21367 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
265, 10, 15, 25dedth3h 3582 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3539   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    + caddc 8708   +vcpv 21101   BaseSetcba 21102   .s
OLDcns 21103   0veccn0v 21104   .i
OLDcdip 21233   CPreHil OLDccphlo 21350
This theorem is referenced by:  ipasslem1  21369  ipasslem2  21370  ipasslem11  21378  dipdir  21380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-sum 12124  df-grpo 20818  df-gid 20819  df-ginv 20820  df-ablo 20909  df-vc 21062  df-nv 21108  df-va 21111  df-ba 21112  df-sm 21113  df-0v 21114  df-nmcv 21116  df-dip 21234  df-ph 21351
  Copyright terms: Public domain W3C validator