MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdiri Unicode version

Theorem ipdiri 21401
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ipdiri  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem ipdiri
StepHypRef Expression
1 oveq1 5827 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) )
21oveq1d 5835 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C ) )
3 oveq1 5827 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
43oveq1d 5835 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( B P C ) ) )
52, 4eqeq12d 2299 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) ) ) )
6 oveq2 5828 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
76oveq1d 5835 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C ) )
8 oveq1 5827 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( B P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
98oveq2d 5836 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P C ) ) )
107, 9eqeq12d 2299 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) )
11 oveq2 5828 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
12 oveq2 5828 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
13 oveq2 5828 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
1412, 13oveq12d 5838 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2299 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) )
16 ip1i.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 ip1i.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
18 ip1i.4 . . 3  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
19 ip1i.7 . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
20 ip1i.9 . . 3  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21 eqid 2285 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
2216, 21, 20elimph 21391 . . 3  |-  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2316, 21, 20elimph 21391 . . 3  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2416, 21, 20elimph 21391 . . 3  |-  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2516, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24ipdirilem 21400 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
265, 10, 15, 25dedth3h 3610 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   ifcif 3567   ` cfv 5222  (class class class)co 5820    + caddc 8736   +vcpv 21134   BaseSetcba 21135   .s
OLDcns 21136   0veccn0v 21137   .i
OLDcdip 21266   CPreHil OLDccphlo 21383
This theorem is referenced by:  ipasslem1  21402  ipasslem2  21403  ipasslem11  21411  dipdir  21413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-sum 12154  df-grpo 20851  df-gid 20852  df-ginv 20853  df-ablo 20942  df-vc 21095  df-nv 21141  df-va 21144  df-ba 21145  df-sm 21146  df-0v 21147  df-nmcv 21149  df-dip 21267  df-ph 21384
  Copyright terms: Public domain W3C validator