Theorem ipf 8366

Description: Mapping for the inner product operation.

Hypotheses

Ref	Expression
ipcl.1	|- X = (Base` U)
ipcl.7	|- P = (.i` U)

Assertion

Ref	Expression
ipf	|- (U e. NrmCVec -> P:(X X. X)-->CC)

Proof of Theorem ipf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcl.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
2		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (.s` U) = (.s` U)
4		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (norm` U) = (norm` U)
5		ipcl.7	. . . . . . 7 |- P = (.i` U)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 8353	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X /\ y e. X) -> (xPy) = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4))
7	1, 5	ipcl 8365	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X /\ y e. X) -> (xPy) e. CC)
8	6, 7	eqeltrrd 1549	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X /\ y e. X) -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4) e. CC)
9	8	3expib 836	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> ((x e. X /\ y e. X) -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4) e. CC))
10	9	r19.21aivv 1720	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> A.x e. X A.y e. X (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4) e. CC)
11		eqid 1475	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4))}
12	11	foprab2 4119	. . 3 |- (A.x e. X A.y e. X (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4) e. CC <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4))}:(X X. X)-->CC)
13	10, 12	sylib 198	. 2 |- (U e. NrmCVec -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4))}:(X X. X)-->CC)
14	1, 2, 3, 4, 5	ipfval 8352	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> P = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4))})
15	14	feq1d 3624	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (P:(X X. X)-->CC <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (x(+v` U)((i^k)(.s` U)y)))^2)) / 4))}:(X X. X)-->CC))
16	13, 15	mpbird 196	1 |- (U e. NrmCVec -> P:(X X. X)-->CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   X. cxp 3168  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  CCcc 5232  1c1 5235  ici 5236   x. cmul 5239   / cdiv 5294  2c2 5961  4c4 5963  ...cfz 6467  ^cexp 6568  sum_csu 6979  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  normcnm 8209  .icip 8349

This theorem is referenced by:  sspi 8398  hlipf 8612

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sum 6980  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-ip 8350

Copyright terms: Public domain