MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipole Unicode version

Theorem ipole 14263
Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i  |-  I  =  (toInc `  F )
ipole.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
ipole  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )

Proof of Theorem ipole
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq12 3710 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } )
21sseq1d 3207 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x ,  y }  C_  F  <->  { X ,  Y }  C_  F ) )
3 sseq12 3203 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( x  C_  y  <->  X 
C_  Y ) )
42, 3anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
)  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
5 eqid 2285 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
64, 5brabga 4281 . . 3  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
763adant1 973 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
8 ipoval.i . . . . . 6  |-  I  =  (toInc `  F )
98ipolerval 14261 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
10 ipole.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  I )
119, 10syl6reqr 2336 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  .<_  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
1211breqd 4036 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
13123ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
14 prssi 3773 . . . 4  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
15143adant1 973 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
1615biantrurd 494 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  C_  Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
177, 13, 163bitr4d 276 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    C_ wss 3154   {cpr 3643   class class class wbr 4025   {copab 4078   ` cfv 5257   lecple 13217  toInccipo 14256
This theorem is referenced by:  ipolt  14264  ipopos  14265  isipodrs  14266  ipodrsfi  14268  mrelatglb  14289  mrelatglb0  14290  mrelatlub  14291  thlleval  16600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ocomp 13231  df-ipo 14257
  Copyright terms: Public domain W3C validator