Theorem ipval3 8359

Description: Expansion of the inner product value ipval 8353.

Hypotheses

Ref	Expression
ipfval.1	|- X = (Base` U)
ipfval.2	|- G = (+v` U)
ipfval.4	|- S = (.s` U)
ipfval.6	|- N = (norm` U)
ipfval.7	|- P = (.i` U)
ipval3.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
ipval3	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) = (((((N` (AGB))^2) - ((N` (AMB))^2)) + (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AM(iSB)))^2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipfval.1	. . 3 |- X = (Base` U)
2		ipfval.2	. . 3 |- G = (+v` U)
3		ipfval.4	. . 3 |- S = (.s` U)
4		ipfval.6	. . 3 |- N = (norm` U)
5		ipfval.7	. . 3 |- P = (.i` U)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval2 8357	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) = (((((N` (AGB))^2) - ((N` (AG(-u1SB)))^2)) + (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AG(-uiSB)))^2)))) / 4))
7		ipval3.3	. . . . . . . 8 |- M = (-v` U)
8	1, 2, 3, 7	nvmval 8263	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (AG(-u1SB)))
9	8	fveq2d 3728	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) = (N` (AG(-u1SB))))
10	9	opreq1d 3975	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N` (AMB))^2) = ((N` (AG(-u1SB)))^2))
11	10	opreq2d 3976	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (((N` (AGB))^2) - ((N` (AMB))^2)) = (((N` (AGB))^2) - ((N` (AG(-u1SB)))^2)))
12	1, 2, 3, 7	nvmval 8263	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (iSB) e. X) -> (AM(iSB)) = (AG(-u1S(iSB))))
13		axicn 5270	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. CC
14	1, 3	nvscl 8247	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ i e. CC /\ B e. X) -> (iSB) e. X)
15	13, 14	mp3an2 904	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (iSB) e. X)
16	15	3adant2 798	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (iSB) e. X)
17	12, 16	syld3an3 870	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(iSB)) = (AG(-u1S(iSB))))
18		ax1cn 5269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
19	18	negcl 5369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u1 e. CC
20	1, 3	nvsass 8249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ i e. CC /\ B e. X)) -> ((-u1 x. i)SB) = (-u1S(iSB)))
21	19, 20	mp3anr1 913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (i e. CC /\ B e. X)) -> ((-u1 x. i)SB) = (-u1S(iSB)))
22	13, 21	mpanr1 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((-u1 x. i)SB) = (-u1S(iSB)))
23	13	mulm1 5472	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-u1 x. i) = -ui
24	23	opreq1i 3971	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-u1 x. i)SB) = (-uiSB)
25	22, 24	syl5reqr 1522	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1S(iSB)) = (-uiSB))
26	25	3adant2 798	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1S(iSB)) = (-uiSB))
27	26	opreq2d 3976	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AG(-u1S(iSB))) = (AG(-uiSB)))
28	17, 27	eqtrd 1507	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(iSB)) = (AG(-uiSB)))
29	28	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AM(iSB))) = (N` (AG(-uiSB))))
30	29	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N` (AM(iSB)))^2) = ((N` (AG(-uiSB)))^2))
31	30	opreq2d 3976	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AM(iSB)))^2)) = (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AG(-uiSB)))^2)))
32	31	opreq2d 3976	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AM(iSB)))^2))) = (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AG(-uiSB)))^2))))
33	11, 32	opreq12d 3978	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((((N` (AGB))^2) - ((N` (AMB))^2)) + (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AM(iSB)))^2)))) = ((((N` (AGB))^2) - ((N` (AG(-u1SB)))^2)) + (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AG(-uiSB)))^2)))))
34	33	opreq1d 3975	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (((((N` (AGB))^2) - ((N` (AMB))^2)) + (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AM(iSB)))^2)))) / 4) = (((((N` (AGB))^2) - ((N` (AG(-u1SB)))^2)) + (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AG(-uiSB)))^2)))) / 4))
35	6, 34	eqtr4d 1510	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) = (((((N` (AGB))^2) - ((N` (AMB))^2)) + (i x. (((N` (AG(iSB)))^2) - ((N` (AM(iSB)))^2)))) / 4))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293   / cdiv 5294  2c2 5961  4c4 5963  ^cexp 6568  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  -vcnsb 8208  normcnm 8209  .icip 8349

This theorem is referenced by:  4ipval3 8362  hhip 9044

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sum 6980  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ip 8350

Copyright terms: Public domain