MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipz Unicode version

Theorem ipz 21241
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dip0r.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
dip0r.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
ipz  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  A  =  Z ) )

Proof of Theorem ipz
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2256 . . . 4  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
3 dip0r.7 . . . 4  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
41, 2, 3ipidsq 21232 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 ) )
54eqeq1d 2264 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  (
( ( normCV `  U
) `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
61, 2nvcl 21171 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR )
76recnd 8815 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  CC )
8 sqeq0 11120 . . 3  |-  ( ( ( normCV `  U ) `  A )  e.  CC  ->  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  A ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( normCV `  U ) `  A )  =  0 ) )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( normCV `  U ) `  A
)  =  0 ) )
10 dip0r.5 . . 3  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
111, 10, 2nvz 21181 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  A )  =  0  <->  A  =  Z ) )
125, 9, 113bitrd 272 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  A  =  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   0cc0 8691   2c2 9749   ^cexp 11056   NrmCVeccnv 21086   BaseSetcba 21088   0veccn0v 21090   normCVcnmcv 21092   .i OLDcdip 21219
This theorem is referenced by:  ip2eqi  21381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-rp 10308  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-sum 12110  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-ablo 20895  df-vc 21048  df-nv 21094  df-va 21097  df-ba 21098  df-sm 21099  df-0v 21100  df-nmcv 21102  df-dip 21220
  Copyright terms: Public domain W3C validator