MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipz Unicode version

Theorem ipz 21287
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dip0r.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
dip0r.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
ipz  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  A  =  Z ) )

Proof of Theorem ipz
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2284 . . . 4  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
3 dip0r.7 . . . 4  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
41, 2, 3ipidsq 21278 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 ) )
54eqeq1d 2292 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  (
( ( normCV `  U
) `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
61, 2nvcl 21217 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR )
76recnd 8856 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  CC )
8 sqeq0 11162 . . 3  |-  ( ( ( normCV `  U ) `  A )  e.  CC  ->  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  A ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( normCV `  U ) `  A )  =  0 ) )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( normCV `  U ) `  A
)  =  0 ) )
10 dip0r.5 . . 3  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
111, 10, 2nvz 21227 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  A )  =  0  <->  A  =  Z ) )
125, 9, 113bitrd 272 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  A  =  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   0cc0 8732   2c2 9790   ^cexp 11098   NrmCVeccnv 21132   BaseSetcba 21134   0veccn0v 21136   normCVcnmcv 21138   .i OLDcdip 21265
This theorem is referenced by:  ip2eqi  21427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-sum 12153  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-nmcv 21148  df-dip 21266
  Copyright terms: Public domain W3C validator