Theorem iri 10699

Description: Composite of an identity with itself. JFM CAT₁ th. 59

Hypotheses

Ref	Expression
iri.1	|- O = dom (id` T)
iri.2	|- J = (id` T)
iri.3	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
iri	|- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((J` A)R(J` A)) = (J` A))

Proof of Theorem iri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . 3 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
2		iri.1	. . 3 |- O = dom (id` T)
3		iri.2	. . 3 |- J = (id` T)
4	1, 2, 3	jdmo 10682	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. dom (dom` T))
5	3	eqcomi 1482	. . . . . 6 |- (id` T) = J
6	5	dmeqi 3318	. . . . 5 |- dom (id` T) = dom J
7	2, 6	eqtr 1498	. . . 4 |- O = dom J
8		eqid 1478	. . . 4 |- (dom` T) = (dom` T)
9		eqid 1478	. . . 4 |- (cod` T) = (cod` T)
10	7, 8, 3, 9	idosc 10673	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (((dom` T)` (J` A)) = A /\ ((cod` T)` (J` A)) = A))
11	10	pm3.27d 325	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((cod` T)` (J` A)) = A)
12		iri.3	. . . . 5 |- R = (o` T)
13	1, 8, 7, 3, 12, 9	cmpida 10678	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ (J` A) e. dom (dom` T)) -> (((cod` T)` (J` A)) = A -> ((J` A)R(J` A)) = (J` A)))
14	13	3exp 834	. . 3 |- (T e. Cat -> (A e. O -> ((J` A) e. dom (dom` T) -> (((cod` T)` (J` A)) = A -> ((J` A)R(J` A)) = (J` A)))))
15	14	imp4b 365	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (((J` A) e. dom (dom` T) /\ ((cod` T)` (J` A)) = A) -> ((J` A)R(J` A)) = (J` A)))
16	4, 11, 15	mp2and 705	1 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((J` A)R(J` A)) = (J` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  dom cdm 3176  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  domcdom_ 10615  codccod_ 10616  idcid_ 10617  oco_ 10618  Catccat 10656

This theorem is referenced by:  immon 10717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-alg 10619  df-doma 10620  df-coda 10621  df-ida 10622  df-cmpa 10623  df-ded 10639  df-cat 10657

Copyright terms: Public domain