Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapx1 Unicode version

Theorem irrapx1 26281
Description: Dirichlet's approximation theorem. Every positive irrational number has infinitely many rational approximations which are closer than the inverse squares of their reduced denominators. Lemma 61 in [vandenDries] p. 42. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapx1  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
( (denom `  y
) ^ -u 2
) ) }  ~~  NN )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem irrapx1
StepHypRef Expression
1 qnnen 12455 . . . 4  |-  QQ  ~~  NN
2 nnenom 11009 . . . 4  |-  NN  ~~  om
31, 2entri 6883 . . 3  |-  QQ  ~~  om
43, 2pm3.2i 443 . 2  |-  ( QQ 
~~  om  /\  NN  ~~  om )
5 ssrab2 3233 . . . . . 6  |-  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  C_  QQ
6 qssre 10294 . . . . . 6  |-  QQ  C_  RR
75, 6sstri 3163 . . . . 5  |-  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  C_  RR
87a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
( (denom `  y
) ^ -u 2
) ) }  C_  RR )
9 eldifi 3273 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  A  e.  RR+ )
109rpred 10358 . . . 4  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  A  e.  RR )
11 eldifn 3274 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  -.  A  e.  QQ )
125sseli 3151 . . . . 5  |-  ( A  e.  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
( (denom `  y
) ^ -u 2
) ) }  ->  A  e.  QQ )
1311, 12nsyl 115 . . . 4  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  -.  A  e.  { y  e.  QQ  | 
( 0  <  y  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) } )
14 irrapxlem6 26280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  { y  e.  QQ  |  ( 0  < 
y  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  (
(denom `  y ) ^ -u 2 ) ) }  ( abs `  (
b  -  A ) )  <  a )
159, 14sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  { y  e.  QQ  |  ( 0  < 
y  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  (
(denom `  y ) ^ -u 2 ) ) }  ( abs `  (
b  -  A ) )  <  a )
1615ralrimiva 2601 . . . 4  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  A. a  e.  RR+  E. b  e.  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  ( abs `  ( b  -  A ) )  < 
a )
17 rencldnfi 26272 . . . 4  |-  ( ( ( { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
( (denom `  y
) ^ -u 2
) ) }  C_  RR  /\  A  e.  RR  /\ 
-.  A  e.  {
y  e.  QQ  | 
( 0  <  y  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) } )  /\  A. a  e.  RR+  E. b  e.  {
y  e.  QQ  | 
( 0  <  y  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  ( abs `  ( b  -  A ) )  < 
a )  ->  -.  { y  e.  QQ  | 
( 0  <  y  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  e.  Fin )
188, 10, 13, 16, 17syl31anc 1190 . . 3  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  -.  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
( (denom `  y
) ^ -u 2
) ) }  e.  Fin )
1918, 5jctil 525 . 2  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  ( { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  C_  QQ  /\  -.  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  e.  Fin ) )
20 ctbnfien 26269 . 2  |-  ( ( ( QQ  ~~  om  /\  NN  ~~  om )  /\  ( { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
( (denom `  y
) ^ -u 2
) ) }  C_  QQ  /\  -.  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  e.  Fin ) )  ->  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  ( (denom `  y ) ^ -u 2
) ) }  ~~  NN )
214, 19, 20sylancr 647 1  |-  ( A  e.  ( RR+  \  QQ )  ->  { y  e.  QQ  |  ( 0  <  y  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
( (denom `  y
) ^ -u 2
) ) }  ~~  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   {crab 2522    \ cdif 3124    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   omcom 4628   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    ~~ cen 6828   Fincfn 6831   RRcr 8704   0cc0 8705    < clt 8835    - cmin 9005   -ucneg 9006   NNcn 9714   2c2 9763   QQcq 10284   RR+crp 10322   ^cexp 11071   abscabs 11685  denomcdenom 12768
This theorem is referenced by:  pellexlem4  26285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-ico 10629  df-fz 10750  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-numer 12769  df-denom 12770
  Copyright terms: Public domain W3C validator