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Theorem irrapxlem5 27001
Description: Lemma for irrapx1 27003. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem irrapxlem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
21rpreccld 10696 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
1  /  B )  e.  RR+ )
32rprege0d 10693 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) ) )
4 flge0nn0 11263 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
5 nn0p1nn 10297 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
63, 4, 53syl 19 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
7 irrapxlem4 27000 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
86, 7syldan 458 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
9 simplrr 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  NN )
10 nnq 10625 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  QQ )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  QQ )
12 simplrl 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN )
13 nnq 10625 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  QQ )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  QQ )
1512nnne0d 10082 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =/=  0 )
16 qdivcl 10633 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  QQ  /\  a  e.  QQ  /\  a  =/=  0 )  ->  (
b  /  a )  e.  QQ )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  QQ )
189nnrpd 10685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR+ )
1912nnrpd 10685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR+ )
2018, 19rpdivcld 10703 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR+ )
2120rpgt0d 10689 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( b  /  a ) )
2212nnred 10053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR )
2312nnnn0d 10312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN0 )
2423nn0ge0d 10315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  a )
2522, 24absidd 12263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  a
)  =  a )
2625eqcomd 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =  ( abs `  a ) )
2726oveq1d 6132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
2812nncnd 10054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  CC )
29 qre 10617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  RR )
3017, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR )
31 rpre 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
3231ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  RR )
3330, 32resubcld 9503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  RR )
3433recnd 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  CC )
3528, 34absmuld 12294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) ) )
3627, 35eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
37 qcn 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  CC )
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  CC )
39 rpcn 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
4039ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  CC )
4128, 38, 40subdid 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( ( a  x.  ( b  /  a ) )  -  ( a  x.  A ) ) )
429nncnd 10054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  CC )
4342, 28, 15divcan2d 9830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
b  /  a ) )  =  b )
4428, 40mulcomd 9147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  A
)  =  ( A  x.  a ) )
4543, 44oveq12d 6135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  x.  ( b  /  a
) )  -  (
a  x.  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4641, 45eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4746fveq2d 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  ( b  -  ( A  x.  a )
) ) )
4832, 22remulcld 9154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  RR )
4948recnd 9152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  CC )
5042, 49abssubd 12293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
b  -  ( A  x.  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) ) )
5136, 47, 503eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
529nnred 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR )
5348, 52resubcld 9503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  RR )
5453recnd 9152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  CC )
5554abscld 12276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  e.  RR )
56 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5756rprecred 10697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
5856rpreccld 10696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR+ )
5958rpge0d 10690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  B ) )
6057, 59, 4syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
6160, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR+ )
63 ifcl 3802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR+ )
6462, 19, 63syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR+ )
6564rprecred 10697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  e.  RR )
6656rpred 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR )
6722, 66remulcld 9154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  B
)  e.  RR )
68 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
6958rprecred 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  e.  RR )
7061nnred 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )
71 ifcl 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR )
7270, 22, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR )
73 fllep1 11248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  B )  e.  RR  ->  (
1  /  B )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
7457, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
75 max2 10813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7622, 70, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7757, 70, 72, 74, 76letrd 9265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7858, 64lerecd 10705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( 1  /  B )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) ) )
7977, 78mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) )
8066recnd 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  CC )
8156rpne0d 10691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  =/=  0 )
8280, 81recrecd 9825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
8380mulid2d 9144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
8482, 83eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  ( 1  x.  B ) )
8512nnge1d 10080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  <_  a )
86 1re 9128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  e.  RR )
8887, 22, 56lemul1d 10725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  <_  a  <->  ( 1  x.  B )  <_  ( a  x.  B ) ) )
8985, 88mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  <_  ( a  x.  B ) )
9084, 89eqbrtrd 4263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  <_  ( a  x.  B ) )
9165, 69, 67, 79, 90letrd 9265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
a  x.  B ) )
9255, 65, 67, 68, 91ltletrd 9268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( a  x.  B ) )
9351, 92eqbrtrd 4263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  B ) )
9434abscld 12276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR )
9512nngt0d 10081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  a )
96 ltmul2 9899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) ) )  < 
( a  x.  B
) ) )
9794, 66, 22, 95, 96syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  B ) ) )
9893, 97mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B )
9922, 22remulcld 9154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  RR )
10022, 15msqgt0d 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( a  x.  a ) )
101100gt0ne0d 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  =/=  0 )
10299, 101rereccld 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR )
103 qdencl 13171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (denom `  ( b  /  a
) )  e.  NN )
10417, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN )
105104nnred 10053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  RR )
106105, 105remulcld 9154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR )
107104nnne0d 10082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  =/=  0 )
108105, 107msqgt0d 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
109108gt0ne0d 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  =/=  0 )
110106, 109rereccld 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) ) )  e.  RR )
11122, 15rereccld 9879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  a
)  e.  RR )
112 max1 10811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11322, 70, 112syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11419, 64lerecd 10705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) ) )
115113, 114mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) )
11655, 65, 111, 68, 115ltletrd 9268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  a ) )
11728, 28, 28, 15, 15divdiv1d 9859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( a  /  ( a  x.  a ) ) )
11828, 15dividd 9826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  a
)  =  1 )
119118oveq1d 6132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( 1  /  a ) )
12099recnd 9152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  CC )
12128, 120, 101divrecd 9831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  (
a  x.  a ) )  =  ( a  x.  ( 1  / 
( a  x.  a
) ) ) )
122117, 119, 1213eqtr3rd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
1  /  ( a  x.  a ) ) )  =  ( 1  /  a ) )
123116, 51, 1223brtr4d 4273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  ( 1  /  (
a  x.  a ) ) ) )
124 ltmul2 9899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR  /\  ( a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
12594, 102, 22, 95, 124syl112anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
126123, 125mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) )
1279nnzd 10412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
128 divdenle 13179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  ->  (denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
129127, 12, 128syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
130104nnnn0d 10312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN0 )
131130nn0ge0d 10315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )
132 le2msq 9948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (denom `  (
b  /  a ) )  e.  RR  /\  0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <_  a ) )  ->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) )  <_  (
a  x.  a ) ) )
133105, 131, 22, 24, 132syl22anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) ) )
134129, 133mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) )
135 lerec 9930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )  /\  ( ( a  x.  a )  e.  RR  /\  0  < 
( a  x.  a
) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
136106, 108, 99, 100, 135syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
137134, 136mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <_  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
13894, 102, 110, 126, 137ltletrd 9268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
139104nncnd 10054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC )
140 2nn0 10276 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
141140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
2  e.  NN0 )
142 expneg 11427 . . . . . . . 8  |-  ( ( (denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 ) ) )
143139, 141, 142syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ 2 ) ) )
144139sqvald 11558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 )  =  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
145144oveq2d 6133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
146143, 145eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
147138, 146breqtrrd 4269 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) )
148 breq2 4247 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
0  <  x  <->  0  <  ( b  /  a ) ) )
149 oveq1 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( b  /  a )  -  A ) )
150149fveq2d 5767 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )
151150breq1d 4253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B
) )
152 fveq2 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (denom `  x )  =  (denom `  ( b  /  a
) ) )
153152oveq1d 6132 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
(denom `  x ) ^ -u 2 )  =  ( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
) )
154150, 153breq12d 4256 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
)  <->  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )
155148, 151, 1543anbi123d 1255 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) )  <->  ( 0  <  ( b  / 
a )  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
B  /\  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 ) ) ) )
156155rspcev 3061 . . . . 5  |-  ( ( ( b  /  a
)  e.  QQ  /\  ( 0  <  (
b  /  a )  /\  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
15717, 21, 98, 147, 156syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
158157ex 425 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
159158rexlimdvva 2844 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
1608, 159mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   E.wrex 2713   ifcif 3767   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   CCcc 9026   RRcr 9027   0cc0 9028   1c1 9029    + caddc 9031    x. cmul 9033    < clt 9158    <_ cle 9159    - cmin 9329   -ucneg 9330    / cdiv 9715   NNcn 10038   2c2 10087   NN0cn0 10259   ZZcz 10320   QQcq 10612   RR+crp 10650   |_cfl 11239   ^cexp 11420   abscabs 12077  denomcdenom 13164
This theorem is referenced by:  irrapxlem6  27002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-ico 10960  df-fz 11082  df-fl 11240  df-mod 11289  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-dvds 12891  df-gcd 13045  df-numer 13165  df-denom 13166
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