Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredrmul Unicode version

Theorem irredrmul 15800
 Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i Irred
irredrmul.u Unit
irredrmul.t
Assertion
Ref Expression
irredrmul

Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . 2
2 simp1 957 . . . . . 6
3 simp3 959 . . . . . 6
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9 Unit
5 eqid 2435 . . . . . . . . 9 /r /r
64, 5unitdvcl 15780 . . . . . . . 8 /r
763com23 1159 . . . . . . 7 /r
873expia 1155 . . . . . 6 /r
92, 3, 8syl2anc 643 . . . . 5 /r
10 irredn0.i . . . . . . . . 9 Irred
11 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1210, 11irredcl 15797 . . . . . . . 8
13123ad2ant2 979 . . . . . . 7
14 irredrmul.t . . . . . . . 8
1511, 4, 5, 14dvrcan3 15785 . . . . . . 7 /r
162, 13, 3, 15syl3anc 1184 . . . . . 6 /r
1716eleq1d 2501 . . . . 5 /r
189, 17sylibd 206 . . . 4
192ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
20 eldifi 3461 . . . . . . . . . 10
2120ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
223ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
2311, 4, 5dvrcl 15779 . . . . . . . . 9 /r
2419, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . 8 /r
25 eldifn 3462 . . . . . . . . . 10
2625ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
274, 14unitmulcl 15757 . . . . . . . . . . . . 13 /r /r
28273com23 1159 . . . . . . . . . . . 12 /r /r
29283expia 1155 . . . . . . . . . . 11 /r /r
3019, 22, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 /r /r
3111, 4, 5, 14dvrcan1 15784 . . . . . . . . . . . 12 /r
3219, 21, 22, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 /r
3332eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10 /r
3430, 33sylibd 206 . . . . . . . . 9 /r
3526, 34mtod 170 . . . . . . . 8 /r
3624, 35eldifd 3323 . . . . . . 7 /r
37 simprr 734 . . . . . . . . 9
3837oveq1d 6087 . . . . . . . 8 /r /r
39 eldifi 3461 . . . . . . . . . 10
4039ad2antlr 708 . . . . . . . . 9
4111, 4, 5, 14dvrass 15783 . . . . . . . . 9 /r /r
4219, 40, 21, 22, 41syl13anc 1186 . . . . . . . 8 /r /r
4316ad2antrr 707 . . . . . . . 8 /r
4438, 42, 433eqtr3d 2475 . . . . . . 7 /r
45 oveq2 6080 . . . . . . . . 9 /r /r
4645eqeq1d 2443 . . . . . . . 8 /r /r
4746rspcev 3044 . . . . . . 7 /r /r
4836, 44, 47syl2anc 643 . . . . . 6
4948rexlimdvaa 2823 . . . . 5
5049reximdva 2810 . . . 4
5118, 50orim12d 812 . . 3
5211, 4unitcl 15752 . . . . . 6
53523ad2ant3 980 . . . . 5
5411, 14rngcl 15665 . . . . 5
552, 13, 53, 54syl3anc 1184 . . . 4
56 eqid 2435 . . . . 5
5711, 4, 10, 56, 14isnirred 15793 . . . 4
5855, 57syl 16 . . 3
5911, 4, 10, 56, 14isnirred 15793 . . . 4
6013, 59syl 16 . . 3
6151, 58, 603imtr4d 260 . 2
621, 61mt4d 132 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   cdif 3309  cfv 5445  (class class class)co 6072  cbs 13457  cmulr 13518  crg 15648  Unitcui 15732  Irredcir 15733  /rcdvr 15775 This theorem is referenced by:  irredlmul  15801  irredneg  15803 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-irred 15736  df-invr 15765  df-dvr 15776
 Copyright terms: Public domain W3C validator