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Theorem irredrmul 15699
Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i  |-  I  =  (Irred `  R )
irredrmul.u  |-  U  =  (Unit `  R )
irredrmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
irredrmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  I )

Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 957 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  I )
2 simp1 956 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 958 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  U )
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  (Unit `  R )
5 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  (/r `  R
)  =  (/r `  R
)
64, 5unitdvcl 15679 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  e.  U )
763com23 1158 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  e.  U )
873expia 1154 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  -> 
( ( X  .x.  Y ) (/r `  R
) Y )  e.  U ) )
92, 3, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  -> 
( ( X  .x.  Y ) (/r `  R
) Y )  e.  U ) )
10 irredn0.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  (Irred `  R )
11 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1210, 11irredcl 15696 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  I  ->  X  e.  ( Base `  R
) )
13123ad2ant2 978 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  R
) )
14 irredrmul.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
1511, 4, 5, 14dvrcan3 15684 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  =  X )
162, 13, 3, 15syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  =  X )
1716eleq1d 2432 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( X  .x.  Y ) (/r `  R
) Y )  e.  U  <->  X  e.  U
) )
189, 17sylibd 205 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  ->  X  e.  U )
)
192ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  R  e.  Ring )
20 eldifi 3385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  \  U
)  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
2120ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
223ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  Y  e.  U )
2311, 4, 5dvrcl 15678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U )  ->  (
y (/r `  R ) Y )  e.  ( Base `  R ) )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( y
(/r `  R ) Y )  e.  ( Base `  R ) )
25 eldifn 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  \  U
)  ->  -.  y  e.  U )
2625ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  -.  y  e.  U )
274, 14unitmulcl 15656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
y (/r `  R ) Y )  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( y (/r `  R ) Y ) 
.x.  Y )  e.  U )
28273com23 1158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U  /\  (
y (/r `  R ) Y )  e.  U )  ->  ( ( y (/r `  R ) Y )  .x.  Y )  e.  U )
29283expia 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( y (/r `  R
) Y )  e.  U  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  .x.  Y )  e.  U ) )
3019, 22, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  e.  U  -> 
( ( y (/r `  R ) Y ) 
.x.  Y )  e.  U ) )
3111, 4, 5, 14dvrcan1 15683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U )  ->  (
( y (/r `  R
) Y )  .x.  Y )  =  y )
3219, 21, 22, 31syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  .x.  Y )  =  y )
3332eleq1d 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
( y (/r `  R
) Y )  .x.  Y )  e.  U  <->  y  e.  U ) )
3430, 33sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  e.  U  -> 
y  e.  U ) )
3526, 34mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  -.  (
y (/r `  R ) Y )  e.  U )
36 eldif 3248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y (/r `  R ) Y )  e.  ( (
Base `  R )  \  U )  <->  ( (
y (/r `  R ) Y )  e.  ( Base `  R )  /\  -.  ( y (/r `  R
) Y )  e.  U ) )
3724, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( y
(/r `  R ) Y )  e.  ( (
Base `  R )  \  U ) )
38 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( x  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y ) )
3938oveq1d 5996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
(/r `  R ) Y )  =  ( ( X  .x.  Y ) (/r `  R ) Y ) )
40 eldifi 3385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Base `  R )  \  U
)  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
4140ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
4211, 4, 5, 14dvrass 15682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( x  .x.  y ) (/r `  R
) Y )  =  ( x  .x.  (
y (/r `  R ) Y ) ) )
4319, 41, 21, 22, 42syl13anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
(/r `  R ) Y )  =  ( x 
.x.  ( y (/r `  R ) Y ) ) )
4416ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( ( X  .x.  Y ) (/r `  R ) Y )  =  X )
4539, 43, 443eqtr3d 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( x  .x.  ( y (/r `  R
) Y ) )  =  X )
46 oveq2 5989 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y (/r `  R ) Y )  ->  ( x  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y (/r `  R ) Y ) ) )
4746eqeq1d 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y (/r `  R ) Y )  ->  ( ( x 
.x.  z )  =  X  <->  ( x  .x.  ( y (/r `  R
) Y ) )  =  X ) )
4847rspcev 2969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y (/r `  R
) Y )  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  (
y (/r `  R ) Y ) )  =  X )  ->  E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X )
4937, 45, 48syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X )
5049expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  ->  ( (
x  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y )  ->  E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) )
5150rexlimdva 2752 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  \  U ) )  -> 
( E. y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y )  ->  E. z  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  z )  =  X ) )
5251reximdva 2740 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( E. x  e.  (
( Base `  R )  \  U ) E. y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y )  ->  E. x  e.  (
( Base `  R )  \  U ) E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) )
5318, 52orim12d 811 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( X  .x.  Y )  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. y  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )  ->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  ( (
Base `  R )  \  U ) E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) ) )
5411, 4unitcl 15651 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  ( Base `  R
) )
55543ad2ant3 979 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  R
) )
5611, 14rngcl 15564 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  (
Base `  R )
)
572, 13, 55, 56syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  ( Base `  R
) )
58 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( (
Base `  R )  \  U )  =  ( ( Base `  R
)  \  U )
5911, 4, 10, 58, 14isnirred 15692 . . . 4  |-  ( ( X  .x.  Y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( -.  ( X  .x.  Y )  e.  I  <->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. y  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) ) ) )
6057, 59syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( -.  ( X  .x.  Y
)  e.  I  <->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. y  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) ) ) )
6111, 4, 10, 58, 14isnirred 15692 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Base `  R
)  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. z  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  z )  =  X ) ) )
6213, 61syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  ( (
Base `  R )  \  U ) E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) ) )
6353, 60, 623imtr4d 259 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( -.  ( X  .x.  Y
)  e.  I  ->  -.  X  e.  I
) )
641, 63mt4d 130 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629    \ cdif 3235   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   .rcmulr 13417   Ringcrg 15547  Unitcui 15631  Irredcir 15632  /rcdvr 15674
This theorem is referenced by:  irredlmul  15700  irredneg  15702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-irred 15635  df-invr 15664  df-dvr 15675
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