Theorem isabli 8106

Description: Properties that determine an Abelian group operation.

Hypotheses

Ref	Expression
isabli.1	|- G e. Grp
isabli.2	|- dom G = (X X. X)
isabli.3	|- ((x e. X /\ y e. X) -> (xGy) = (yGx))

Assertion

Ref	Expression
isabli	|- G e. Abel

Distinct variable groups:   x,y,G   x,X,y

Proof of Theorem isabli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabli.1	. . . 4 |- G e. Grp
2		isabli.2	. . . 4 |- dom G = (X X. X)
3	1, 2	grprn 8056	. . 3 |- X = ran G
4	3	isabl 8101	. 2 |- (G e. Abel <-> (G e. Grp /\ A.x e. X A.y e. X (xGy) = (yGx)))
5		isabli.3	. . 3 |- ((x e. X /\ y e. X) -> (xGy) = (yGx))
6	5	rgen2a 1699	. 2 |- A.x e. X A.y e. X (xGy) = (yGx)
7	4, 1, 6	mpbir2an 730	1 |- G e. Abel

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   X. cxp 3168  dom cdm 3170  (class class class)co 3963  Grpcgr 8033  Abelcabl 8099

This theorem is referenced by:  ablsn 8125  cnaddabl 8126  ablmul 8131  hilabl 9027  hhssabl 9132

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-grp 8037  df-abl 8100

Copyright terms: Public domain