Theorem isabliOLD 8042

Description: Properties that determine an Abelian group operation.

Hypotheses

Ref	Expression
isablix.1	|- G e. Grp
isablix.2	|- G:(X X. X)-->X
isablix.3	|- ((x e. X /\ y e. X) -> (xGy) = (yGx))

Assertion

Ref	Expression
isabliOLD	|- G e. Abel

Distinct variable groups:   x,y,G   x,X,y

Proof of Theorem isabliOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isablix.1	. . . 4 |- G e. Grp
2		isablix.2	. . . 4 |- G:(X X. X)-->X
3	1, 2	grprnOLD 7991	. . 3 |- X = ran G
4	3	isabl 8037	. 2 |- (G e. Abel <-> (G e. Grp /\ A.x e. X A.y e. X (xGy) = (yGx)))
5		isablix.3	. . 3 |- ((x e. X /\ y e. X) -> (xGy) = (yGx))
6	5	rgen2a 1691	. 2 |- A.x e. X A.y e. X (xGy) = (yGx)
7	4, 1, 6	mpbir2an 728	1 |- G e. Abel

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   X. cxp 3158  -->wf 3168  (class class class)co 3948  Grpcgr 7967  Abelcabl 8035

This theorem is referenced by:  ablsn 8062  cnaddabl 8063  ablmul 8068  circgrpOLD 8658  hilabl 8948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-opr 3950  df-grp 7971  df-abl 8036

Copyright terms: Public domain