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Theorem isacs5lem 14274
Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
isacs5lem  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
Distinct variable groups:    C, s,
t    F, s, t    X, s, t

Proof of Theorem isacs5lem
StepHypRef Expression
1 unifpw 7160 . . . . . 6  |-  U. ( ~P s  i^i  Fin )  =  s
21fveq2i 5530 . . . . 5  |-  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  ( F `
 s )
3 vex 2793 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
4 fpwipodrs 14269 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  (toInc `  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
53, 4mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset )
6 inss1 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
7 elpwi 3635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ~P X  -> 
s  C_  X )
8 sspwb 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s 
C_  X  <->  ~P s  C_ 
~P X )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ~P X  ->  ~P s  C_  ~P X
)
109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  ->  ~P s  C_  ~P X
)
116, 10syl5ss 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
123pwex 4195 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P s  e.  _V
1312inex1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  e.  _V
1413elpw 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P s  i^i  Fin )  e.  ~P ~P X 
<->  ( ~P s  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
1511, 14sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X )
1615adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X )
17 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )
18 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (toInc `  t )  =  (toInc `  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
1918eleq1d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
(toInc `  t )  e. Dirset  <-> 
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset ) )
20 unieq 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. t  =  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )
2120fveq2d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  ( F `  U. t )  =  ( F `  U. ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
22 imaeq2 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  ( F " t )  =  ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )
2322unieqd 3840 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. ( F " t )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
2421, 23eqeq12d 2299 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
( F `  U. t )  =  U. ( F " t )  <-> 
( F `  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
2519, 24imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  <-> 
( (toInc `  ( ~P s  i^i  Fin )
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) ) ) )
2625rspcva 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X  /\  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t )  =  U. ( F " t ) ) )  ->  (
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset  ->  ( F `  U. ( ~P s  i^i 
Fin ) )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) ) )
2716, 17, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( (toInc `  ( ~P s  i^i  Fin )
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) ) )
285, 27mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( F `  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )
292, 28syl5eqr 2331 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( F `  s
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) )
3029ralrimiva 2628 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `
 s )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
3130ex 423 . 2  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
3231imdistani 671 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   U.cuni 3829   "cima 4694   ` cfv 5257   Fincfn 6865  Moorecmre 13486  mrClscmrc 13487  Dirsetcdrs 14063  toInccipo 14256
This theorem is referenced by:  acsficl  14276  isacs5  14277  isacs4  14278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ocomp 13231  df-preset 14064  df-drs 14065  df-poset 14082  df-ipo 14257
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