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Theorem isbasis3g 16614
Description: Express the predicate " B is a basis for a topology." Definition of basis in [Munkres] p. 78. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
isbasis3g  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, B
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis3g
StepHypRef Expression
1 isbasis2g 16613 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
2 elssuni 3796 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  x  C_ 
U. B )
32rgen 2579 . . . . 5  |-  A. x  e.  B  x  C_  U. B
4 eluni2 3772 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
54biimpi 188 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  ->  E. y  e.  B  x  e.  y )
65rgen 2579 . . . . 5  |-  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y
73, 6pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y )
87biantrur 494 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
9 df-3an 941 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )  <->  ( ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
108, 9bitr4i 245 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  B  x  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
111, 10syl6bb 254 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    i^i cin 3093    C_ wss 3094   U.cuni 3768   TopBasesctb 16562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ral 2520  df-rex 2521  df-v 2742  df-in 3101  df-ss 3108  df-pw 3568  df-uni 3769  df-bases 16565
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