Theorem isblo 8427

Description: The predicate "is a bounded linear operator."

Hypotheses

Ref	Expression
bloval.3	|- N = (UnormOpW)
bloval.4	|- L = (U LnOp W)
bloval.5	|- B = (U BLnOp W)

Assertion

Ref	Expression
isblo	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo)))

Proof of Theorem isblo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bloval.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
2		bloval.4	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
3		bloval.5	. . . 4 |- B = (U BLnOp W)
4	1, 2, 3	bloval 8426	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> B = {t e. L | (N` t) < +oo})
5	4	eleq2d 1540	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> T e. {t e. L | (N` t) < +oo}))
6		fveq2 3721	. . . 4 |- (t = T -> (N` t) = (N` T))
7	6	breq1d 2626	. . 3 |- (t = T -> ((N` t) < +oo <-> (N` T) < +oo))
8	7	elrab 1903	. 2 |- (T e. {t e. L | (N` t) < +oo} <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo))
9	5, 8	syl6bb 535	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  {crab 1647   class class class wbr 2616  ` cfv 3179  (class class class)co 3960   +oocpnf 5470   < clt 5473  NrmCVeccnv 8188   LnOp clno 8387  normOpcnmo 8388   BLnOp cblo 8389

This theorem is referenced by:  isblo2 8428  bloln 8429  nmblore 8431  isblo3i 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-blo 8393

Copyright terms: Public domain