MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Unicode version

Theorem isblo3i 21395
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
isblo3i.m  |-  M  =  ( normCV `  U )
isblo3i.n  |-  N  =  ( normCV `  W )
isblo3i.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
isblo3i.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
isblo3i.u  |-  U  e.  NrmCVec
isblo3i.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, L    x, M, y    x, N, y    x, T, y    x, U, y   
x, W, y    x, X, y
Allowed substitution hint:    L( y)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
4 isblo3i.5 . . . . 5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
53, 4bloln 21378 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  L )
61, 2, 5mp3an12 1267 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  T  e.  L )
7 isblo3i.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
107, 8, 9, 4nmblore 21380 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
111, 2, 10mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
12 isblo3i.m . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  U )
13 isblo3i.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  W )
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 21394 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( (
( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( M `  y
) ) )
1514ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) )
16 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  (
x  x.  ( M `
 y ) )  =  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  ( M `  y )
) )
1716breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  <->  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) ) )
1817ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  ( A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  <->  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) ) )
1918rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  ( M `  y )
) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) )
2011, 15, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) )
216, 20jca 518 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) ) )
22 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  L )
237, 8, 3lnof 21349 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
241, 2, 23mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
257, 8, 9nmoxr 21360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR* )
261, 2, 25mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( T : X --> ( BaseSet `  W )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR* )
27263ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR* )
28 recn 8843 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
2928abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
3029rexrd 8897 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e. 
RR* )
31303ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR* )
32 pnfxr 10471 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
3332a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 21367 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  <_  ( abs `  x ) )
35 ltpnf 10479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
3629, 35syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
37363ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 10507 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  <  +oo )
3924, 38syl3an1 1215 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo )
409, 3, 4isblo 21376 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo ) ) )
411, 2, 40mp2an 653 . . . . 5  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo ) )
4222, 39, 41sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  B )
4342rexlimdv3a 2682 . . 3  |-  ( T  e.  L  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  ->  T  e.  B ) )
4443imp 418 . 2  |-  ( ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  B )
4521, 44impbii 180 1  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   abscabs 11735   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   normCVcnmcv 21162    LnOp clno 21334   normOp OLDcnmoo 21335    BLnOp cblo 21336
This theorem is referenced by:  blo3i  21396  blocnilem  21398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340  df-0o 21341
  Copyright terms: Public domain W3C validator