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Theorem isblo3i 22290
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
isblo3i.m  |-  M  =  ( normCV `  U )
isblo3i.n  |-  N  =  ( normCV `  W )
isblo3i.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
isblo3i.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
isblo3i.u  |-  U  e.  NrmCVec
isblo3i.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, L    x, M, y    x, N, y    x, T, y    x, U, y   
x, W, y    x, X, y
Allowed substitution hint:    L( y)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
4 isblo3i.5 . . . . 5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
53, 4bloln 22273 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  L )
61, 2, 5mp3an12 1269 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  T  e.  L )
7 isblo3i.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
9 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
107, 8, 9, 4nmblore 22275 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
111, 2, 10mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
12 isblo3i.m . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  U )
13 isblo3i.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  W )
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 22289 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( (
( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( M `  y
) ) )
1514ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) )
16 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  (
x  x.  ( M `
 y ) )  =  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  ( M `  y )
) )
1716breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  <->  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) ) )
1817ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  ( A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  <->  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) ) )
1918rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  ( M `  y )
) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) )
2011, 15, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) )
216, 20jca 519 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) ) )
22 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  L )
237, 8, 3lnof 22244 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
241, 2, 23mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
257, 8, 9nmoxr 22255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR* )
261, 2, 25mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( T : X --> ( BaseSet `  W )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR* )
27263ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR* )
28 recn 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
2928abscld 12226 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
3029rexrd 9123 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e. 
RR* )
31303ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR* )
32 pnfxr 10702 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 22262 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  <_  ( abs `  x ) )
35 ltpnf 10710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
3629, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
37363ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 10739 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  <  +oo )
3924, 38syl3an1 1217 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo )
409, 3, 4isblo 22271 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo ) ) )
411, 2, 40mp2an 654 . . . . 5  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo ) )
4222, 39, 41sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  B )
4342rexlimdv3a 2824 . . 3  |-  ( T  e.  L  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  ->  T  e.  B ) )
4443imp 419 . 2  |-  ( ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  B )
4521, 44impbii 181 1  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978    x. cmul 8984    +oocpnf 9106   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110   abscabs 12027   NrmCVeccnv 22051   BaseSetcba 22053   normCVcnmcv 22057    LnOp clno 22229   normOp OLDcnmoo 22230    BLnOp cblo 22231
This theorem is referenced by:  blo3i  22291  blocnilem  22293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-nmcv 22067  df-lno 22233  df-nmoo 22234  df-blo 22235  df-0o 22236
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