Theorem iscau 7888

Description: Express the property "F is a Cauchy sequence of metric D." Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. The condition F (_ (CC X. X) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 7874.

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
iscau	|- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))))

Distinct variable groups:   j,k,m,x,F   D,j,k,m,x   m,X

Proof of Theorem iscau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2	1	caufval 7878	. . . 4 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
3		df-rab 1649	. . . . 5 |- {f e. P~(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))} = {f | (f e. P~(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))}
4		visset 1809	. . . . . . . 8 |- f e. V
5	4	elpw 2400	. . . . . . 7 |- (f e. P~(CC X. X) <-> f (_ (CC X. X))
6	5	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((f e. P~(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))) <-> (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
7	6	abbii 1572	. . . . 5 |- {f | (f e. P~(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))}
8	3, 7	eqtr2 1493	. . . 4 |- {f | (f (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f e. P~(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))}
9	2, 8	syl6eq 1520	. . 3 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f e. P~(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))})
10	9	eleq2d 1538	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> F e. {f e. P~(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))}))
11		dmexg 3352	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> dom D e. V)
12		dmexg 3352	. . . . . . . 8 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
13	11, 12	syl 10	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
14	13, 1	syl5eqel 1549	. . . . . 6 |- (D e. Met -> X e. V)
15		axcnex 5247	. . . . . . 7 |- CC e. V
16		xpexg 3254	. . . . . . 7 |- ((CC e. V /\ X e. V) -> (CC X. X) e. V)
17	15, 16	mpan 694	. . . . . 6 |- (X e. V -> (CC X. X) e. V)
18	14, 17	syl 10	. . . . 5 |- (D e. Met -> (CC X. X) e. V)
19		elpw2g 2722	. . . . 5 |- ((CC X. X) e. V -> (F e. P~(CC X. X) <-> F (_ (CC X. X)))
20	18, 19	syl 10	. . . 4 |- (D e. Met -> (F e. P~(CC X. X) <-> F (_ (CC X. X)))
21	20	anbi1d 616	. . 3 |- (D e. Met -> ((F e. P~(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))))
22		fveq1 3714	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> (f` k) = (F` k))
23	22	eleq1d 1537	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> ((f` k) e. X <-> (F` k) e. X))
24		fveq1 3714	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> (f` m) = (F` m))
25	24	eleq1d 1537	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> ((f` m) e. X <-> (F` m) e. X))
26	22, 24	opreq12d 3969	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> ((f` k)D(f` m)) = ((F` k)D(F` m)))
27	26	breq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (((f` k)D(f` m)) < x <-> ((F` k)D(F` m)) < x))
28	23, 25, 27	3anbi123d 891	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> (((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x) <-> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))
29	28	imbi2d 611	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))
30	29	ralbidv 1660	. . . . . . 7 |- (f = F -> (A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))
31	30	rexralbidv 1679	. . . . . 6 |- (f = F -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))
32	31	imbi2d 611	. . . . 5 |- (f = F -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))))
33	32	ralbidv 1660	. . . 4 |- (f = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k