Theorem iscau5 7938

Description: Express the property "F is a Cauchy sequence of metric D."

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
iscau5	|- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)))

Distinct variable groups:   j,k,x,F   D,j,k,x   j,X,k,x

Proof of Theorem iscau5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2		1z 6161	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3		nnuz 6440	. . . 4 |- NN = (ZZ>` 1)
4	1, 2, 3	iscau3 7935	. . 3 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
5	4	adantr 391	. 2 |- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
6		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:NN-->X /\ j e. NN) -> (F` j) e. X)
7		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. X)
8	6, 7	anim12i 333	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ (F:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
9	8	anandis 514	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:NN-->X /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
10	9	anassrs 443	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
11	10	biantrurd 729	. . . . . . . . . 10 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((F` j)D(F` k)) < x <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
12		df-3an 779	. . . . . . . . . 10 |- (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x))
13	11, 12	syl6bbr 540	. . . . . . . . 9 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((F` j)D(F` k)) < x <-> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
14	13	imbi2d 614	. . . . . . . 8 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
15	14	ralbidva 1662	. . . . . . 7 |- ((F:NN-->X /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
16	15	rexbidva 1663	. . . . . 6 |- (F:NN-->X -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
17	16	ralbidv 1666	. . . . 5 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
18		ralrp 6290	. . . . 5 |- (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
19	17, 18	syl6bb 538	. . . 4 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
20		fssxp 3643	. . . . . 6 |- (F:NN-->X -> F (_ (NN X. X))
21		nnsscn 5930	. . . . . . . 8 |- NN (_ CC
22		ssid 2083	. . . . . . . 8 |- X (_ X
23		ssxp 3262	. . . . . . . 8 |- ((NN (_ CC /\ X (_ X) -> (NN X. X) (_ (CC X. X))
24	21, 22, 23	mp2an 699	. . . . . . 7 |- (NN X. X) (_ (CC X. X)
25		sstr 2075	. . . . . . 7 |- ((F (_ (NN X. X) /\ (NN X. X) (_ (CC X. X)) -> F (_ (CC X. X))
26	24, 25	mpan2 698	. . . . . 6 |- (F (_ (NN X. X) -> F (_ (CC X. X))
27	20, 26	syl 10	. . . . 5 |- (F:NN-->X -> F (_ (CC X. X))
28	27	biantrurd 729	. . . 4 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
29	19, 28	bitrd 530	. . 3 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
30	29	adantl 390	. 2 |- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
31	5, 30	bitr4d 533	1 |- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   <_ cle 5307  NNcn 5308  RR+crp 5312   < clt 5498  Metcme 7786  Caucca 7917

This theorem is referenced by:  minveclem29 8569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-z 6138  df-rp 6282  df-uz 6419  df-met 7790  df-cau 7920

Copyright terms: Public domain