Theorem iscld 7619

Description: The predicate "S is a closed set."

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
iscld	|- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))

Proof of Theorem iscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	cldval 7616	. . 3 |- (J e. Top -> (Clsd` J) = {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)})
3	2	eleq2d 1538	. 2 |- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)}))
4		elisset 1813	. . . 4 |- (S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)} -> S e. V)
5	4	adantl 388	. . 3 |- ((J e. Top /\ S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)}) -> S e. V)
6		ssexg 2716	. . . . . 6 |- ((S (_ X /\ X e. V) -> S e. V)
7	6	ancoms 436	. . . . 5 |- ((X e. V /\ S (_ X) -> S e. V)
8		uniexg 2866	. . . . . 6 |- (J e. Top -> U.J e. V)
9	8, 1	syl5eqel 1549	. . . . 5 |- (J e. Top -> X e. V)
10	7, 9	sylan 448	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S e. V)
11	10	adantrr 395	. . 3 |- ((J e. Top /\ (S (_ X /\ (X \ S) e. J)) -> S e. V)
12		sseq1 2078	. . . . 5 |- (x = S -> (x (_ X <-> S (_ X))
13		difeq2 2150	. . . . . 6 |- (x = S -> (X \ x) = (X \ S))
14	13	eleq1d 1537	. . . . 5 |- (x = S -> ((X \ x) e. J <-> (X \ S) e. J))
15	12, 14	anbi12d 627	. . . 4 |- (x = S -> ((x (_ X /\ (X \ x) e. J) <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))
16	15	elabg 1895	. . 3 |- (S e. V -> (S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)} <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))
17	5, 11, 16	pm5.21nd 679	. 2 |- (J e. Top -> (S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)} <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))
18	3, 17	bitrd 527	1 |- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  Vcvv 1807   \ cdif 2040   (_ wss 2043  U.cuni 2498  ` cfv 3177  Topctop 7538  Clsdccld 7610

This theorem is referenced by:  iscld2 7620  cldss 7621  cldopn 7622  topcld 7625  iincld 7629  islp2 7697  dtopcl 10495

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-cld 7613

Copyright terms: Public domain