Theorem iscms 7946

Description: The property "D is a complete metric," meaning all Cauchy sequences converge to a point in the space. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28.

Hypothesis

Ref	Expression
caun0.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
iscms	|- (D e. CMet <-> (D e. Met /\ A.f e. (Cau` D)E.x e. X f(~~>m` D)x))

Distinct variable groups:   x,f,D   f,X,x

Proof of Theorem iscms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . 3 |- (y = D -> (Cau` y) = (Cau` D))
2		dmeq 3311	. . . . . 6 |- (y = D -> dom y = dom D)
3	2	dmeqd 3313	. . . . 5 |- (y = D -> dom dom y = dom dom D)
4		caun0.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
5	3, 4	syl6eqr 1525	. . . 4 |- (y = D -> dom dom y = X)
6		fveq2 3724	. . . . 5 |- (y = D -> (~~>m` y) = (~~>m` D))
7		breq 2621	. . . . 5 |- ((~~>m` y) = (~~>m` D) -> (f(~~>m` y)x <-> f(~~>m` D)x))
8	6, 7	syl 10	. . . 4 |- (y = D -> (f(~~>m` y)x <-> f(~~>m` D)x))
9	5, 8	rexeq12d 1795	. . 3 |- (y = D -> (E.x e. dom dom y f(~~>m` y)x <-> E.x e. X f(~~>m` D)x))
10	1, 9	raleq12d 1794	. 2 |- (y = D -> (A.f e. (Cau` y)E.x e. dom dom y f(~~>m` y)x <-> A.f e. (Cau` D)E.x e. X f(~~>m` D)x))
11		df-cmet 7924	. 2 |- CMet = {y e. Met | A.f e. (Cau` y)E.x e. dom dom y f(~~>m` y)x}
12	10, 11	elrab2 1907	1 |- (D e. CMet <-> (D e. Met /\ A.f e. (Cau` D)E.x e. X f(~~>m` D)x))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ` cfv 3182  Metcme 7789  ~~>mclm 7919  Caucca 7920  CMetcms 7921

This theorem is referenced by:  cmscvg 7947  cmsmet 7961  iscms2 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-cmet 7924

Copyright terms: Public domain