Theorem iscms2lem3 7988

Description: Lemma for iscms2 7991. If the arbitrary sequence F is Cauchy, so is the constructed function G.

Hypotheses

Ref	Expression
iscms2lem1.1	|- G = {<.h, z>. | (h e. NN /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), a))}
iscms2lem3.2	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
iscms2lem3	|- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D) /\ a e. X) -> G e. (Cau` D))

Distinct variable groups:   D,a   h,a,z,F   X,a,h,z

Proof of Theorem iscms2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscms2lem3.2	. . . . . 6 |- X = dom dom D
2		1z 6161	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3		nnuz 6440	. . . . . 6 |- NN = (ZZ>` 1)
4	1, 2, 3	iscau3 7935	. . . . 5 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
5		iscms2lem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G = {<.h, z>. | (h e. NN /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), a))}
6	5	lmfexlem2 7954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((j e. NN /\ (F` j) e. X) -> (G` j) = (F` j))
7	5	lmfexlem2 7954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((k e. NN /\ (F` k) e. X) -> (G` k) = (F` k))
8	6, 7	opreqan12d 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((j e. NN /\ (F` j) e. X) /\ (k e. NN /\ (F` k) e. X)) -> ((G` j)D(G` k)) = ((F` j)D(F` k)))
9	8	an4s 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((j e. NN /\ k e. NN) /\ ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X)) -> ((G` j)D(G` k)) = ((F` j)D(F` k)))
10	9	breq1d 2634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((j e. NN /\ k e. NN) /\ ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X)) -> (((G` j)D(G` k)) < x <-> ((F` j)D(F` k)) < x))
11	10	biimprd 154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((j e. NN /\ k e. NN) /\ ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X)) -> (((F` j)D(F` k)) < x -> ((G` j)D(G` k)) < x))
12	11	exp32 379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((F` j) e. X -> ((F` k) e. X -> (((F` j)D(F` k)) < x -> ((G` j)D(G` k)) < x))))
13	12	3impd 849	. . . . . . . . . . . 12 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) -> ((G` j)D(G` k)) < x))
14	13	adantll 394	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) -> ((G` j)D(G` k)) < x))
15	14	imim2d 25	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x)))
16	15	r19.20dva 1712	. . . . . . . . 9 |- ((D e. Met /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x)))
17	16	r19.22dva 1742	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x)))
18	17	imim2d 25	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> ((0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x))))
19	18	r19.20sdv 1713	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x))))
20	19	adantld 392	. . . . 5 |- (D e. Met -> ((F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x))))
21	4, 20	sylbid 203	. . . 4 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x))))
22	21	imp 350	. . 3 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D)) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x)))
23	22	3adant3 801	. 2 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D) /\ a e. X) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x)))
24	1, 2, 3	iscauf 7936	. . 3 |- ((D e. Met /\ G:NN-->X) -> (G e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x))))
25		3simp1 790	. . 3 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D) /\ a e. X) -> D e. Met)
26	5	lmfexlem1 7953	. . . 4 |- (a e. X -> G:NN-->X)
27	26	3ad2ant3 804	. . 3 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D) /\ a e. X) -> G:NN-->X)
28	24, 25, 27	sylanc 473	. 2 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D) /\ a e. X) -> (G e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((G` j)D(G` k)) < x))))
29	23, 28	mpbird 196	1 |- ((D e. Met /\ F e. (Cau` D) /\ a e. X) -> G e. (Cau` D))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  ifcif 2365   class class class wbr 2624  {copab 2671   X. cxp 3174  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498  Metcme 7786  Caucca 7917

This theorem is referenced by:  iscms2lem5 7990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-z 6138  df-uz 6419  df-met 7790  df-cau 7920

Copyright terms: Public domain