MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscn Unicode version

Theorem iscn 17287
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Distinct variable groups:    y, J    y, K    y, X    y, F    y, Y

Proof of Theorem iscn
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfval 17285 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  Cn  K )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
)
21eleq2d 2502 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
) )
3 cnveq 5037 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
43imaeq1d 5193 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " y
)  =  ( `' F " y ) )
54eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f "
y )  e.  J  <->  ( `' F " y )  e.  J ) )
65ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J  <->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) )
76elrab 3084 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. y  e.  K  ( `' f " y )  e.  J }  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) )
8 toponmax 16981 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
9 toponmax 16981 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
10 elmapg 7022 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  K  /\  X  e.  J )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
118, 9, 10syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1211anbi1d 686 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
137, 12syl5bb 249 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( `' f
" y )  e.  J }  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
142, 13bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   `'ccnv 4868   "cima 4872   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^m cmap 7009  TopOnctopon 16947    Cn ccn 17276
This theorem is referenced by:  iscn2  17290  cnf2  17301  tgcn  17304  ssidcn  17307  iscncl  17321  cnntr  17327  cnss1  17328  cnss2  17329  cncnp  17332  cnrest  17337  cnrest2  17338  cndis  17343  cnindis  17344  kgencn  17576  kgencn3  17578  tx1cn  17629  tx2cn  17630  txdis1cn  17655  qtopid  17725  qtopcn  17734  qtopf1  17836  divstgplem  18138  ucncn  18303  cvmlift2lem9a  24978  rfcnpre1  27604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-map 7011  df-top 16951  df-topon 16954  df-cn 17279
  Copyright terms: Public domain W3C validator