MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscn2 Unicode version

Theorem iscn2 16962
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscn.1  |-  X  = 
U. J
iscn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
iscn2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Distinct variable groups:    y, J    y, K    y, X    y, F    y, Y

Proof of Theorem iscn2
StepHypRef Expression
1 df-cn 16951 . . 3  |-  Cn  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( `' f
" y )  e.  j } )
21elmpt2cl 6022 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
3 iscn.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
43toptopon 16665 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 iscn.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. K
65toptopon 16665 . . 3  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
7 iscn 16959 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
84, 6, 7syl2anb 467 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
92, 8biadan2 626 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544   {crab 2548   U.cuni 3828   `'ccnv 4687   "cima 4691   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    ^m cmap 6767   Topctop 16625  TopOnctopon 16626    Cn ccn 16948
This theorem is referenced by:  cntop1  16964  cntop2  16965  cnf  16970  cnima  16988  cnco  16989  ptpjcn  17299  intopcoaconb  24939  intopcoaconc  24940  intcont  24942  prcnt  24950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-map 6769  df-top 16630  df-topon 16633  df-cn 16951
  Copyright terms: Public domain W3C validator