MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscn2 Unicode version

Theorem iscn2 16930
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscn.1  |-  X  = 
U. J
iscn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
iscn2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Distinct variable groups:    y, J    y, K    y, X    y, F    y, Y

Proof of Theorem iscn2
StepHypRef Expression
1 df-cn 16919 . . 3  |-  Cn  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( `' f
" y )  e.  j } )
21elmpt2cl 5995 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
3 iscn.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
43toptopon 16633 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 iscn.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. K
65toptopon 16633 . . 3  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
7 iscn 16927 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
84, 6, 7syl2anb 467 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
92, 8biadan2 626 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   {crab 2522   U.cuni 3801   `'ccnv 4660   "cima 4664   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    ^m cmap 6740   Topctop 16593  TopOnctopon 16594    Cn ccn 16916
This theorem is referenced by:  cntop1  16932  cntop2  16933  cnf  16938  cnima  16956  cnco  16957  ptpjcn  17267  intopcoaconb  24907  intopcoaconc  24908  intcont  24910  prcnt  24918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-map 6742  df-top 16598  df-topon 16601  df-cn 16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator