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Theorem iscncl 17014
Description: A definition of a continuous function using closed sets. Theorem 1 (d) of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 19-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscncl  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Distinct variable groups:    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y

Proof of Theorem iscncl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnf2 16995 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
213expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
3 cnclima 17013 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
43ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
)
54adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
)
62, 5jca 518 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
7 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  ->  F : X --> Y )
8 toponuni 16681 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
98ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  X  =  U. J
)
10 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  F : X --> Y )
11 fimacnv 5673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
1211eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  X  =  ( `' F " Y ) )
1310, 12syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  X  =  ( `' F " Y ) )
149, 13eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  U. J  =  ( `' F " Y ) )
1514difeq1d 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. J  \ 
( `' F "
x ) )  =  ( ( `' F " Y )  \  ( `' F " x ) ) )
16 ffun 5407 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
17 funcnvcnv 5324 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
1810, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  Fun  `' `' F
)
19 imadif 5343 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  x ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " x ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
( Y  \  x
) )  =  ( ( `' F " Y )  \  ( `' F " x ) ) )
2115, 20eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. J  \ 
( `' F "
x ) )  =  ( `' F "
( Y  \  x
) ) )
22 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
23 toponuni 16681 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  Y  =  U. K
)
2524difeq1d 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( Y  \  x
)  =  ( U. K  \  x ) )
26 topontop 16680 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
2722, 26syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  K  e.  Top )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
2928opncld 16786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  x  e.  K )  ->  ( U. K  \  x )  e.  (
Clsd `  K )
)
3027, 29sylancom 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. K  \  x )  e.  (
Clsd `  K )
)
3125, 30eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( Y  \  x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
32 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  A. y  e.  (
Clsd `  K )
( `' F "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
33 imaeq2 5024 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Y  \  x )  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " ( Y  \  x
) ) )
3433eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Y  \  x )  ->  (
( `' F "
y )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( `' F " ( Y 
\  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3534rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  \  x )  e.  ( Clsd `  K
)  ->  ( A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( `' F " ( Y  \  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3631, 32, 35sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
( Y  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
3721, 36eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. J  \ 
( `' F "
x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
38 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3938ad3antrrr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  J  e.  Top )
40 cnvimass 5049 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 fdm 5409 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
4210, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  dom  F  =  X )
4340, 42syl5sseq 3239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  C_  X
)
4443, 9sseqtrd 3227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  C_  U. J
)
45 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
4645isopn2 16785 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " x ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " x )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4739, 44, 46syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( `' F " x )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4837, 47mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  e.  J
)
4948ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
50 iscn 16981 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
5150adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J
) ) )
527, 49, 51mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
536, 52impbida 805 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  cncls2  17018  paste  17038  cmphaushmeo  17507  ubthlem1  21465  ubthlem2  21466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973
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