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Theorem iscnp 16915
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, F, y   
x, P, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp
StepHypRef Expression
1 cnpval 16914 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
21eleq2d 2323 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) )
3 fveq1 5443 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  P )  =  ( F `  P ) )
43eleq1d 2322 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
5 imaeq1 4981 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f " x )  =  ( F "
x ) )
65sseq1d 3166 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f " x
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
76anbi2d 687 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y ) ) )
87rexbidv 2537 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y ) ) )
94, 8imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
109ralbidv 2536 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
1110elrab 2891 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. y  e.  K  ( (
f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
12 toponmax 16614 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
13 toponmax 16614 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
14 elmapg 6739 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  K  /\  X  e.  J )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
1512, 13, 14syl2anr 466 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1615anbi1d 688 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
1711, 16syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
18173adant3 980 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
192, 18bitrd 246 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2520    C_ wss 3113   "cima 4650   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    ^m cmap 6726  TopOnctopon 16580    CnP ccnp 16903
This theorem is referenced by:  iscnp2  16917  iscnp3  16922  tgcnp  16931  cnconst2  16959  cnpresti  16964  cnprest  16965  cnprest2  16966  1stccnp  17136  cnpflf2  17643  symgtgp  17732  ghmcnp  17745  ellimc2  19175  xrlimcnp  20211  iscnp4  24916
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-map 6728  df-top 16584  df-topon 16587  df-cnp 16906
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