Theorem iscnp 7739

Description: The predicate "F is a continuous function from topology J to topology K at point P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U.J
iscn.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
iscnp	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,J,y   y,K   x,P,y   y,X   y,Y

Proof of Theorem iscnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn.1	. . . 4 |- X = U.J
2		iscn.2	. . . 4 |- Y = U.K
3	1, 2	cnpval 7738	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((J CnP K)` P) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))})
4	3	eleq2d 1540	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))}))
5		elmapg 4330	. . . . . . 7 |- ((Y e. V /\ X e. V) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
6		uniexg 2868	. . . . . . . 8 |- (K e. Top -> U.K e. V)
7	6, 2	syl5eqel 1551	. . . . . . 7 |- (K e. Top -> Y e. V)
8		uniexg 2868	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> U.J e. V)
9	8, 1	syl5eqel 1551	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> X e. V)
10	5, 7, 9	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ J e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
11	10	ancoms 436	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
12	11	anbi1d 616	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
13		fveq1 3720	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (f` P) = (F` P))
14	13	eleq1d 1539	. . . . . . 7 |- (f = F -> ((f` P) e. y <-> (F` P) e. y))
15		imaeq1 3398	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (f"x) = (F"x))
16	15	sseq1d 2086	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((f"x) (_ y <-> (F"x) (_ y))
17	16	anbi2d 615	. . . . . . . 8 |- (f = F -> ((P e. x /\ (f"x) (_ y) <-> (P e. x /\ (F"x) (_ y)))
18	17	rexbidv 1663	. . . . . . 7 |- (f = F -> (E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))
19	14, 18	imbi12d 625	. . . . . 6 |- (f = F -> (((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y)) <-> ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
20	19	ralbidv 1662	. . . . 5 |- (f = F -> (A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y)) <-> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
21	20	elrab 1903	. . . 4 |- (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))} <-> (F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
22	12, 21	syl5bb 531	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
23	22	3adant3 798	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
24	4, 23	bitrd 527	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645  {crab 1647  Vcvv 1809   (_ wss 2045  U.cuni 2500  "cima 3170  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960   ^m cm 4319  Topctop 7567   CnP ccnp 7732

This theorem is referenced by:  iscnp2 7740  cnpf 7742  cnpimaex 7744  cnpco 7748  cnsscnp 7751  cncnp 7757  metcnp 7870

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-map 4321  df-cnp 7734

Copyright terms: Public domain