Theorem iscnp2 7761

Description: The predicate "F is a continuous function from topology J to topology K at point P."

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U.J
iscnp2.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
iscnp2	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,J,y   x,K,y   x,X,y   x,Y,y   x,P,y

Proof of Theorem iscnp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . 3 |- X = U.J
2		iscnp2.2	. . 3 |- Y = U.K
3	1, 2	iscnp 7760	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
4		funimass3 3806	. . . . . . . . 9 |- ((Fun F /\ x (_ dom F) -> ((F"x) (_ y <-> x (_ (`'F"y)))
5		ffun 3629	. . . . . . . . . 10 |- (F:X-->Y -> Fun F)
6	5	ad2antlr 405	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> Fun F)
7	1	eltopss 7603	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ x e. J) -> x (_ X)
8	7	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> x (_ X)
9		fdm 3631	. . . . . . . . . . 11 |- (F:X-->Y -> dom F = X)
10	9	ad2antlr 405	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> dom F = X)
11	8, 10	sseqtr4d 2098	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> x (_ dom F)
12	4, 6, 11	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> ((F"x) (_ y <-> x (_ (`'F"y)))
13	12	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> ((P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))
14	13	rexbidva 1660	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))
15	14	imbi2d 612	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) <-> ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y)))))
16	15	ralbidv 1663	. . . 4 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) <-> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y)))))
17	16	pm5.32da 649	. . 3 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))
18	17	3ad2ant1 800	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))
19	3, 18	bitrd 528	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  U.cuni 2503  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  "cima 3173  Fun wfun 3176  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Topctop 7588   CnP ccnp 7753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-cnp 7755

Copyright terms: Public domain