MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscnp2 Unicode version

Theorem iscnp2 17291
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscn.1  |-  X  = 
U. J
iscn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
iscnp2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, F, y   
x, P, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp2
Dummy variables  f 
g  j  k  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3625 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  -.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (/) )
2 df-ov 6075 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  CnP  K )  =  (  CnP  `  <. J ,  K >. )
3 ndmfv 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  (  CnP  ` 
<. J ,  K >. )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( J  CnP  K )  =  (/) )
54fveq1d 5721 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (
(/) `  P )
)
6 fv01 5754 . . . . . . . 8  |-  ( (/) `  P )  =  (/)
75, 6syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (/) )
81, 7nsyl2 121 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  <. J ,  K >.  e.  dom  CnP  )
9 df-cnp 17280 . . . . . . 7  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) )
10 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  C_  ( U. k  ^m  U. j )
11 ovex 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. k  ^m  U. j )  e.  _V
1211elpw2 4356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j
)  <->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  C_  ( U. k  ^m  U. j ) )
1310, 12mpbir 201 . . . . . . . . . 10  |-  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )
1413rgenw 2765 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  U. j { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )
15 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )
1615fmpt 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  U. j { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )  <->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k  ^m  U. j ) )
1714, 16mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } ) : U. j
--> ~P ( U. k  ^m  U. j )
18 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
1918uniex 4696 . . . . . . . 8  |-  U. j  e.  _V
2011pwex 4374 . . . . . . . 8  |-  ~P ( U. k  ^m  U. j
)  e.  _V
21 fex2 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k  ^m  U. j )  /\  U. j  e.  _V  /\  ~P ( U. k  ^m  U. j )  e.  _V )  ->  ( x  e. 
U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )  e.  _V )
2217, 19, 20, 21mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  e.  _V
239, 22dmmpt2 6412 . . . . . 6  |-  dom  CnP  =  ( Top  X.  Top )
248, 23syl6eleq 2525 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  <. J ,  K >.  e.  ( Top 
X.  Top ) )
25 opelxp 4899 . . . . 5  |-  ( <. J ,  K >.  e.  ( Top  X.  Top ) 
<->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )
)
2624, 25sylib 189 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
2726simpld 446 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
2826simprd 450 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
29 elfvdm 5748 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  dom  ( J  CnP  K ) )
30 iscn.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
3130toptopon 16986 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32 iscn.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
3332toptopon 16986 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
34 cnpfval 17286 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
3531, 33, 34syl2anb 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  CnP  K
)  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
3626, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) )
3736dmeqd 5063 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  dom  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
38 ovex 6097 . . . . . . . 8  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
3938rabex 4346 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  _V
4039rgenw 2765 . . . . . 6  |-  A. x  e.  X  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) }  e.  _V
41 dmmptg 5358 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )  =  X )
4240, 41ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  =  X
4337, 42syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  X )
4429, 43eleqtrd 2511 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X )
4527, 28, 443jca 1134 . 2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X ) )
46 biid 228 . . 3  |-  ( P  e.  X  <->  P  e.  X )
47 iscnp 17289 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
4831, 33, 46, 47syl3anb 1227 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
4945, 48biadan2 624 1  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   <.cop 3809   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4867   dom cdm 4869   "cima 4872   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^m cmap 7009   Topctop 16946  TopOnctopon 16947    CnP ccnp 17277
This theorem is referenced by:  cnptop1  17294  cnptop2  17295  cnprcl  17297  cnpf  17299  cnpimaex  17308  cnpnei  17316  cnpco  17319  cnprest  17341  cnprest2  17342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-map 7011  df-top 16951  df-topon 16954  df-cnp 17280
  Copyright terms: Public domain W3C validator