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Theorem iscvm 24951
Description: The property of being a covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvm.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
iscvm.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iscvm  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, x    C, k, s, u, x    x, X    k, F, s, u, x    k, J, s, u, x
Allowed substitution hints:    C( v)    S( x, v, u, k, s)    F( v)    J( v)    X( v, u, k, s)

Proof of Theorem iscvm
Dummy variables  c 
f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 632 . 2  |-  ( ( ( ( C  e. 
Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
2 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) ) )
32anbi1i 678 . 2  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J ) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( (
( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J ) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) ) ) )
4 df-cvm 24948 . . . 4  |- CovMap  =  ( c  e.  Top , 
j  e.  Top  |->  { f  e.  ( c  Cn  j )  | 
A. x  e.  U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) ) } )
54elmpt2cl 6291 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( C  e.  Top  /\  J  e. 
Top ) )
6 oveq12 6093 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( c  Cn  j
)  =  ( C  Cn  J ) )
7 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  j  =  J )
87unieqd 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  U. J )
9 iscvm.2 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
108, 9syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  X )
11 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  c  =  C )
1211pweqd 3806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ~P c  =  ~P C )
1312difeq1d 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ~P c  \  { (/) } )  =  ( ~P C  \  { (/) } ) )
14 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
ct  u )  =  ( Ct  u ) )
15 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
jt  k )  =  ( Jt  k ) )
1614, 15oveqan12d 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) )  =  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k
) ) )
1716eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )  Homeo  ( jt  k ) )  <->  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )
1817anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
1918ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
2019anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )  Homeo  ( jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' f "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2113, 20rexeqbidv 2919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) )  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2221anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
237, 22rexeqbidv 2919 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
2410, 23raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( A. x  e. 
U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
256, 24rabeqbidv 2953 . . . . . 6  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  { f  e.  ( c  Cn  j )  |  A. x  e. 
U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } )
26 ovex 6109 . . . . . . 7  |-  ( C  Cn  J )  e. 
_V
2726rabex 4357 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( C  Cn  J )  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) }  e.  _V
2825, 4, 27ovmpt2a 6207 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( C CovMap  J )  =  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } )
2928eleq2d 2505 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( C CovMap  J )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J )  | 
A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } ) )
30 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  J  ->  k  e.  J )
31 pwexg 4386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  Top  ->  ~P C  e.  _V )
3231adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ~P C  e.  _V )
33 difexg 4354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P C  e.  _V  ->  ( ~P C  \  { (/)
} )  e.  _V )
34 rabexg 4356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ~P C  \  { (/)
} )  e.  _V  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )
3532, 33, 343syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )
36 iscvm.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
3736fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  J  /\  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( S `  k
)  =  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
3830, 35, 37syl2anr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( S `  k )  =  {
s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
3938neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( ( S `  k )  =/=  (/)  <->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =/=  (/) ) )
40 rabn0 3649 . . . . . . . . . 10  |-  ( { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
4139, 40syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( ( S `  k )  =/=  (/)  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
4241anbi2d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4342rexbidva 2724 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4443ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4544anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) ) )
46 cnveq 5049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
4746imaeq1d 5205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " k
)  =  ( `' F " k ) )
4847eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( U. s  =  ( `' f " k
)  <->  U. s  =  ( `' F " k ) ) )
49 reseq1 5143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  u )  =  ( F  |`  u
) )
5049eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )
5150anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
5251ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
5348, 52anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( U. s  =  ( `' f "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
5453rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
5554anbi2d 686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5655rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5756ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5857elrab 3094 . . . . 5  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) }  <-> 
( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5945, 58syl6bbr 256 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J )  | 
A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } ) )
6029, 59bitr4d 249 . . 3  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( C CovMap  J )  <->  ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
615, 60biadan2 625 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
621, 3, 613bitr4ri 271 1  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880    |` cres 4883   "cima 4884   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653   Topctop 16963    Cn ccn 17293    Homeo chmeo 17790   CovMap ccvm 24947
This theorem is referenced by:  cvmcn  24954  cvmcov  24955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-cvm 24948
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