Theorem isdrs 14346

Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrs.b	|- B = ( Base ` K )
isdrs.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
isdrs	|- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )

Distinct variable groups:   x, K, y, z   x, B, y, z   x, .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs

Dummy variables f b r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = ( Base ` K ) )
2		isdrs.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
3	1, 2	syl6eqr 2454	. . . . . 6 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = B )
4		dfsbcq 3123	. . . . . 6 |- ( ( Base ` f ) = B -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. B / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . 5 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. B / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
6		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( f = K -> ( le ` f ) = ( le ` K ) )
7		isdrs.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = ( le ` K )
8	6, 7	syl6eqr 2454	. . . . . . 7 |- ( f = K -> ( le ` f ) = .<_ )
9		dfsbcq 3123	. . . . . . 7 |- ( ( le ` f ) = .<_ -> ( [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( f = K -> ( [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
11	10	sbcbidv 3175	. . . . 5 |- ( f = K -> ( [. B / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. B / b ]. [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
12	5, 11	bitrd 245	. . . 4 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. B / b ]. [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
13		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) e. _V
14	2, 13	eqeltri 2474	. . . . 5 |- B e. _V
15		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( le ` K ) e. _V
16	7, 15	eqeltri 2474	. . . . 5 |- .<_ e. _V
17		neeq1 2575	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
18	17	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( b = B /\ r = .<_ ) -> ( b =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
19		rexeq 2865	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> E. z e. B ( x r z /\ y r z ) ) )
20	19	raleqbi1dv 2872	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> A. y e. B E. z e. B ( x r z /\ y r z ) ) )
21	20	raleqbi1dv 2872	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x r z /\ y r z ) ) )
22		breq 4174	. . . . . . . . . 10 |- ( r = .<_ -> ( x r z <-> x .<_ z ) )
23		breq 4174	. . . . . . . . . 10 |- ( r = .<_ -> ( y r z <-> y .<_ z ) )
24	22, 23	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( r = .<_ -> ( ( x r z /\ y r z ) <-> ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
25	24	rexbidv 2687	. . . . . . . 8 |- ( r = .<_ -> ( E. z e. B ( x r z /\ y r z ) <-> E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
26	25	2ralbidv 2708	. . . . . . 7 |- ( r = .<_ -> ( A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x r z /\ y r z ) <-> A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
27	21, 26	sylan9bb 681	. . . . . 6 |- ( ( b = B /\ r = .<_ ) -> ( A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
28	18, 27	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( ( b = B /\ r = .<_ ) -> ( ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
29	14, 16, 28	sbc2ie 3188	. . . 4 |- ( [. B / b ]. [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
30	12, 29	syl6bb 253	. . 3 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
31		df-drs 14341	. . 3 |- Dirset = { f e. Preset | [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) }
32	30, 31	elrab2 3054	. 2 |- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
33		3anass 940	. 2 |- ( ( K e. Preset /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) <-> ( K e. Preset /\ ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
34	32, 33	bitr4i 244	1 |- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   Preset cpreset 14338  Dirsetcdrs 14339

This theorem is referenced by:  drsdir  14347  drsprs  14348  drsbn0  14349  isdrs2  14351  isipodrs  14542

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-drs 14341