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Theorem isercoll 12461
Description: Rearrange an infinite series by spacing out the terms using an order isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
isercoll.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
isercoll.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
isercoll.f  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
isercoll.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
isercoll  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    ph, k, n    k, G, n    k, H, n    k, M, n   
n, Z
Allowed substitution hint:    Z( k)

Proof of Theorem isercoll
Dummy variables  j  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 uzssz 10505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3378 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  ZZ
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
54ffvelrnda 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  Z )
63, 5sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  ZZ )
7 nnz 10303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
87ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( M ... m )  e.  Fin )
10 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> Z  ->  Fun  G )
11 funimacnv 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G ) )
124, 10, 113syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )
)
13 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... m
)
1412, 13syl6eqss 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  C_  ( M ... m ) )
16 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M ... m
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin )
179, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  e. 
Fin )
18 hashcl 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0 )
19 nn0z 10304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ZZ )
21 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  C_  NN
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
241, 22, 4, 23isercolllem1 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  NN  C_  NN )  ->  ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
2521, 24mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G  |`  NN ) 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
26 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : NN --> Z  ->  G  Fn  NN )
274, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G  Fn  NN )
28 fnresdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G  Fn  NN  ->  ( G  |`  NN )  =  G )
29 isoeq1 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  |`  NN )  =  G  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) ) )
3027, 28, 293syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) ) )
3125, 30mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) ) )
32 isof1o 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  ->  G : NN -1-1-onto-> ( G " NN ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( G " NN ) )
34 f1ocnv 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( G " NN )  ->  `' G :
( G " NN )
-1-1-onto-> NN )
35 f1ofun 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' G : ( G
" NN ) -1-1-onto-> NN  ->  Fun  `' G )
3633, 34, 353syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
37 df-f1 5459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : NN -1-1-> Z  <->  ( G : NN --> Z  /\  Fun  `' G ) )
384, 36, 37sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-> Z
)
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN -1-1-> Z )
40 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  e.  NN )
4140ssriv 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
42 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
4342f1imaen 7169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... n
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )
4439, 41, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) )
45 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
46 enfii 7326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin )
4745, 44, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  e.  Fin )
48 hashen 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... n )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) ) )
4947, 45, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... n
) )  <->  ( G " ( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) ) )
5044, 49mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) ) )
51 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
5251ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
53 hashfz1 11630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... n
) )  =  n )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... n ) )  =  n )
5550, 54eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  n )
5640adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  NN )
57 zssre 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ZZ  C_  RR
583, 57sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  C_  RR
594ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN --> Z )
60 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  y  e.  NN )  ->  ( G `  y
)  e.  Z )
6159, 40, 60syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  Z
)
6258, 61sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  Z
)
6458, 63sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
65 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  m  e.  ZZ )
6665ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  ZZ )
6766zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  RR )
68 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  <_  n )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  <_  n )
7031ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) )
71 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  NN )
72 isorel 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y ) ) )
7370, 71, 56, 72syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
7473notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( -.  n  <  y  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y
) ) )
7556nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  RR )
7671nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
7775, 76lenltd 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  -.  n  <  y ) )
7862, 64lenltd 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  <_  ( G `  n
)  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
7974, 77, 783bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
) )
8069, 79mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
)
81 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8281ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8362, 64, 67, 80, 82letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  m
)
8461, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
85 elfz5 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( M ... m )  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8684, 66, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  e.  ( M ... m
)  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8783, 86mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( M ... m ) )
8859, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G  Fn  NN )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Fn  NN )
90 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( `' G " ( M ... m ) )  <-> 
( y  e.  NN  /\  ( G `  y
)  e.  ( M ... m ) ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  e.  ( `' G "
( M ... m
) )  <->  ( y  e.  NN  /\  ( G `
 y )  e.  ( M ... m
) ) ) )
9256, 87, 91mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) )
9392ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... n
)  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9493ssrdv 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  ( `' G " ( M ... m ) ) )
95 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( `' G " ( M ... m
) )  ->  ( G " ( 1 ... n ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
97 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... n ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
9817, 96, 97sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
99 hashdom 11653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
10047, 17, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
10198, 100mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )
10255, 101eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  <_  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )
103 eluz2 10494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  <->  ( n  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ  /\  n  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
1048, 20, 102, 103syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
105 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
106105eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC ) )
107105oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )
108107fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) ) )
109108breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
110106, 109anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
111110rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
112104, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
113112ralrimdva 2796 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
114 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )
115114raleqdv 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
116115rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  ZZ  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
1176, 113, 116ee12an 1372 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
118117rexlimdva 2830 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
119 1nn 10011 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
120 ffvelrn 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  1  e.  NN )  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
1214, 119, 120sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
122121, 1syl6eleq 2526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
123 eluzelz 10496 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  1 )  e.  ZZ )
124 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )
125124rexuz3 12152 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
126122, 123, 1253syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
127118, 126sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
128 fzfid 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
129 funimacnv 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G ) )
1304, 10, 1293syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )
)
131 inss1 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... j
)
132130, 131syl6eqss 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )
133132adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  C_  ( M ... j ) )
134 ssfi 7329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M ... j
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin )
135128, 133, 134syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
136 hashcl 11639 . . . . . . . 8  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0 )
137 nn0p1nn 10259 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
138135, 136, 1373syl 19 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
139 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  <_  k )
140139adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k )
141135adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
142 nn0z 10304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  ZZ )
143141, 136, 1423syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ )
144 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
146 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
147143, 145, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
148140, 147mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k )
149 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  RR )
150135, 136, 1493syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
151150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
152 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
153152uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
154138, 153sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
155154nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
156151, 155ltnled 9220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
157148, 156mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
158 fzss2 11092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( M ... ( G `  k
) )  C_  ( M ... j ) )
159 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... ( G `
 k ) ) 
C_  ( M ... j )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) ) )
160 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
161158, 159, 1603syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
162 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... k ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
163141, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( 1 ... k ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
1644ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
--> Z )
165164ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  Z )
166165, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
167164, 154ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  Z
)
1683, 167sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
169168adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
170 elfz5 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( G `  k )  e.  ZZ )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
171166, 169, 170syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
17231ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
173 nnssre 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  C_  RR
174 ressxr 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  RR  C_  RR*
175173, 174sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  C_  RR*
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  NN  C_ 
RR* )
177 imassrn 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G
" NN )  C_  ran  G
178164adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G : NN --> Z )
179 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G : NN --> Z  ->  ran  G  C_  Z )
180178, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  Z )
181180, 58syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  RR )
182177, 181syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR )
183182, 174syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR* )
184 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
185154adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
186 leisorel 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( NN  C_  RR* 
/\  ( G " NN )  C_  RR* )  /\  ( x  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  ( x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
187172, 176, 183, 184, 185, 186syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
188171, 187bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  x  <_  k ) )
189188pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  ( G `  x )  e.  ( M ... ( G `  k ) ) )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
190 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
x  e.  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  <-> 
( x  e.  NN  /\  ( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
191164, 26, 1903syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( G `
 x )  e.  ( M ... ( G `  k )
) ) ) )
192 fznn 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( 1 ... k )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
193145, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
194189, 191, 1933bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  x  e.  ( 1 ... k
) ) )
195194eqrdv 2434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  =  ( 1 ... k ) )
196195imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  =  ( G " (
1 ... k ) ) )
197196sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  <->  ( G "
( 1 ... k
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
19838ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
-1-1-> Z )
199 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  NN )
200199ssriv 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
201 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... k )  e. 
_V
202201f1imaen 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... k
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )
203198, 200, 202sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~~  (
1 ... k ) )
204 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
205 enfii 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin )
206204, 203, 205syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  e.  Fin )
207 hashen 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... k )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
208206, 204, 207syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
209203, 208mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) ) )
210 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
211 hashfz1 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... k
) )  =  k )
212154, 210, 2113syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... k ) )  =  k )
213209, 212eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  k )
214213breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
215 hashdom 11653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
216206, 141, 215syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
217214, 216bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
218163, 197, 2173imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  k  <_  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) ) ) )
219161, 218syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  -> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
220157, 219mtod 170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) ) )
221 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  j  e.  ZZ )
222221ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
223 uztric 10507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
224168, 222, 223syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
225224ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
226220, 225mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
227 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( M ... m )  =  ( M ... ( G `  k )
) )
228227imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( `' G " ( M ... m ) )  =  ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )
229228imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  =  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
230229fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )
231230fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) ) )
232231eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC ) )
233231oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )
234233fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) ) )
235234breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
236232, 235anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
237236rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
238226, 237syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
239196fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) ) )
240239, 213eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  k )
241240fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
242241eleq1d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC ) )
243241oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A ) )
244243fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) ) )
245244breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )
246242, 245anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
247238, 246sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  -  A
) )  <  x
) ) )
248247ralrimdva 2796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
249 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) )
250249raleqdv 2910 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
251250rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) )
252138, 248, 251ee12an 1372 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
253252rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
254127, 253impbid 184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
255254ralbidv 2725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
256255anbi2d 685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
257 1z 10311 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
258257a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
259 seqex 11325 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  H
)  e.  _V
260259a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  H )  e. 
_V )
261 eqidd 2437 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
262152, 258, 260, 261clim2 12298 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
263122, 123syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ZZ )
264 seqex 11325 . . . 4  |-  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  _V
265264a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
_V )
266 isercoll.0 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
267 isercoll.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
268 isercoll.h . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
2691, 22, 4, 23, 266, 267, 268isercolllem3 12460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
270124, 263, 265, 269clim2 12298 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
271256, 262, 2703bitr4d 277 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454    Isom wiso 5455  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043    seq cseq 11323   #chash 11618   abscabs 12039    ~~> cli 12278
This theorem is referenced by:  isercoll2  12462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-hash 11619  df-clim 12282
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