Theorem iserzabslem 7178

Description: Lemma for iserzabs 7179.

Hypotheses

Ref	Expression
iserzabslem.1	|- A e. V
iserzabslem.2	|- B e. V
iserzabslem.3	|- F e. V
iserzabslem.4	|- G e. V
iserzabslem.5	|- (k e. (ZZ>` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
iserzabslem.6	|- S ~~> A
iserzabslem.7	|- T ~~> B
iserzabslem.8	|- M e. ZZ
iserzabslem.9	|- U e. V
iserzabslem.10	|- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) = (abs` (S` n)))
iserzabslem.11	|- S = (<.M, + >. seq F)
iserzabslem.12	|- T = (<.M, + >. seq G)

Assertion

Ref	Expression
iserzabslem	|- (abs` A) <_ B

Distinct variable groups:   A,n   k,F   k,G   k,M,n   S,n   T,n   U,n

Proof of Theorem iserzabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iserzabslem.8	. 2 |- M e. ZZ
2		iserzabslem.10	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) = (abs` (S` n)))
3		elfzuzt 6488	. . . . . . . . 9 |- (k e. (M...n) -> k e. (ZZ>` M))
4		iserzabslem.5	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
5	4	pm3.26d 321	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` M) -> (F` k) e. CC)
6	3, 5	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (M...n) -> (F` k) e. CC)
7	6	rgen 1698	. . . . . . 7 |- A.k e. (M...n)(F` k) e. CC
8		iserzabslem.3	. . . . . . . . 9 |- F e. V
9	8	serzclt 7045	. . . . . . . 8 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC)
10		iserzabslem.11	. . . . . . . . 9 |- S = (<.M, + >. seq F)
11	10	fveq1i 3725	. . . . . . . 8 |- (S` n) = ((<.M, + >. seq F)` n)
12	9, 11	syl5eqel 1552	. . . . . . 7 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> (S` n) e. CC)
13	7, 12	mpan2 696	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> (S` n) e. CC)
14		absclt 6833	. . . . . 6 |- ((S` n) e. CC -> (abs` (S` n)) e. RR)
15	13, 14	syl 10	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` (S` n)) e. RR)
16	2, 15	eqeltrd 1548	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) e. RR)
17	4	pm3.27d 325	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> (G` k) = (abs` (F` k)))
18		absclt 6833	. . . . . . . . 9 |- ((F` k) e. CC -> (abs` (F` k)) e. RR)
19	5, 18	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> (abs` (F` k)) e. RR)
20	17, 19	eqeltrd 1548	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> (G` k) e. RR)
21	3, 20	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (M...n) -> (G` k) e. RR)
22	21	rgen 1698	. . . . 5 |- A.k e. (M...n)(G` k) e. RR
23		iserzabslem.4	. . . . . . 7 |- G e. V
24	23	serzreclt 7050	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(G` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq G)` n) e. RR)
25		iserzabslem.12	. . . . . . 7 |- T = (<.M, + >. seq G)
26	25	fveq1i 3725	. . . . . 6 |- (T` n) = ((<.M, + >. seq G)` n)
27	24, 26	syl5eqel 1552	. . . . 5 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(G` k) e. RR) -> (T` n) e. RR)
28	22, 27	mpan2 696	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> (T` n) e. RR)
29		fsumabs 7043	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) <_ sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)))
30	7, 29	mpan2 696	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) <_ sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)))
31	8	fsumserz 6999	. . . . . . . 8 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = ((<.M, + >. seq F)` n))
32	31, 11	syl6eqr 1525	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = (S` n))
33	32	fveq2d 3728	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) = (abs` (S` n)))
34	33, 2	eqtr4d 1510	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) = (U` n))
35	23	fsumserz 6999	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(G` k) = ((<.M, + >. seq G)` n))
36	35, 26	syl6eqr 1525	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(G` k) = (T` n))
37	3, 17	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (M...n) -> (G` k) = (abs` (F` k)))
38	37	sumeq2i 6988	. . . . . 6 |- sum_k e. (M...n)(G` k) = sum_k e. (M...n)(abs` (F` k))
39	36, 38	syl5eqr 1521	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)) = (T` n))
40	30, 34, 39	3brtr3d 2644	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) <_ (T` n))
41	16, 28, 40	3jca 819	. . 3 |- (n e. (ZZ>` M) -> ((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n)))
42	41	rgen 1698	. 2 |- A.n e. (ZZ>` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n))
43		iserzabslem.1	. . . 4 |- A e. V
44		iserzabslem.9	. . . 4 |- U e. V
45		iserzabslem.6	. . . 4 |- S ~~> A
46	13, 2	jca 288	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> ((S` n) e. CC /\ (U` n) = (abs` (S` n))))
47	43, 44, 1, 45, 46	climabs 7149	. . 3 |- U ~~> (abs` A)
48		iserzabslem.7	. . 3 |- T ~~> B
49		oprex 3983	. . . . 5 |- (<.M, + >. seq G) e. V
50	25, 49	eqeltr 1544	. . . 4 |- T e. V
51		fvex 3732	. . . 4 |- (abs` A) e. V
52		iserzabslem.2	. . . 4 |- B e. V
53	44, 50, 51, 52	climcmp 7138	. . 3 |- (((U ~~> (abs` A) /\ T ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n)))) -> (abs` A) <_ B)
54	47, 48, 53	mpanl12 708	. 2 |- ((M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n))) -> (abs` A) <_ B)
55	1, 42, 54	mp2an 697	1 |- (abs` A) <_ B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  <.cop 2411   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233   + caddc 5237   <_ cle 5295  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467   seq cseqz 6531  abscabs 6750   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  iserzabs 7179

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain