Theorem iserzext 7135

Description: If an infinite series converges, so does the series with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
iserzext.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
iserzext	|- ((N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> E.x(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> x)

Distinct variable groups:   k,F,x   k,M,x   k,N,x

Proof of Theorem iserzext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . . . 8 |- x e. V
2		iserzext.1	. . . . . . . 8 |- F e. V
3	1, 2	clim2serzt 7134	. . . . . . 7 |- (((<.M, + >. seq F) ~~> x /\ N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (x - ((<.M, + >. seq F)` N)))
4	3	3expb 836	. . . . . 6 |- (((<.M, + >. seq F) ~~> x /\ (N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC)) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (x - ((<.M, + >. seq F)` N)))
5	4	expcom 374	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (x - ((<.M, + >. seq F)` N))))
6		oprex 3989	. . . . . 6 |- (x - ((<.M, + >. seq F)` N)) e. V
7		breq2 2628	. . . . . 6 |- (z = (x - ((<.M, + >. seq F)` N)) -> ((<.(N + 1), + >. seq F) ~~> z <-> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (x - ((<.M, + >. seq F)` N))))
8	6, 7	cla4ev 1872	. . . . 5 |- ((<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (x - ((<.M, + >. seq F)` N)) -> E.z(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> z)
9	5, 8	syl6 22	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> E.z(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> z))
10	9	19.23adv 1216	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC) -> (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> E.z(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> z))
11		breq2 2628	. . . 4 |- (z = x -> ((<.(N + 1), + >. seq F) ~~> z <-> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> x))
12	11	cbvexv 1317	. . 3 |- (E.z(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> z <-> E.x(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> x)
13	10, 12	syl6ib 212	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC) -> (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> E.x(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> x))
14	13	3impia 832	1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> E.x(<.(N + 1), + >. seq F) ~~> x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  iserzgt0 7211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain