Theorem iserzshft 7113

Description: Index shift of an infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserzshft.1	|- F e. V
iserzshft.2	|- M e. ZZ
iserzshft.3	|- K e. ZZ
iserzshft.4	|- N = (M + K)
iserzshft.5	|- G = (F shift K)

Assertion

Ref	Expression
iserzshft	|- (A e. B -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.N, + >. seq G) ~~> A))

Proof of Theorem iserzshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 6946	. 2 |- ((A e. B /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> A e. CC)
2		climcl 6946	. 2 |- ((A e. B /\ (<.N, + >. seq G) ~~> A) -> A e. CC)
3		oprex 3980	. . . 4 |- (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) e. V
4		iserzshft.4	. . . . 5 |- N = (M + K)
5		iserzshft.2	. . . . . 6 |- M e. ZZ
6		iserzshft.3	. . . . . 6 |- K e. ZZ
7		zaddclt 6126	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M + K) e. ZZ)
8	5, 6, 7	mp2an 696	. . . . 5 |- (M + K) e. ZZ
9	4, 8	eqeltr 1543	. . . 4 |- N e. ZZ
10	3, 9	climres 7073	. . 3 |- (A e. CC -> (((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>` N)) ~~> A <-> (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A))
11		addex 5304	. . . . . . 7 |- + e. V
12		iserzshft.5	. . . . . . . 8 |- G = (F shift K)
13		oprex 3980	. . . . . . . 8 |- (F shift K) e. V
14	12, 13	eqeltr 1543	. . . . . . 7 |- G e. V
15	11, 14	seqzfval2 6488	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (<.N, + >. seq G) = ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>` N)))
16	9, 15	ax-mp 7	. . . . 5 |- (<.N, + >. seq G) = ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>` N))
17	16	breq1i 2623	. . . 4 |- ((<.N, + >. seq G) ~~> A <-> ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>` N)) ~~> A)
18	17	a1i 8	. . 3 |- (A e. CC -> ((<.N, + >. seq G) ~~> A <-> ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) |` (ZZ>` N)) ~~> A))
19		iserzshft.1	. . . . . . . 8 |- F e. V
20	11, 19	seqzfval2 6488	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq F) = ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>` M)))
21	5, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (<.M, + >. seq F) = ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>` M))
22	21	breq1i 2623	. . . . 5 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>` M)) ~~> A)
23	22	a1i 8	. . . 4 |- (A e. CC -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>` M)) ~~> A))
24		oprex 3980	. . . . 5 |- (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) e. V
25	24, 5	climres 7073	. . . 4 |- (A e. CC -> (((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) ~~> A))
26		oprex 3980	. . . . . 6 |- ( + seq1 (F shift (1 - M))) e. V
27		1z 6120	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
28		zsubclt 6129	. . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ 1 e. ZZ) -> (N - 1) e. ZZ)
29	9, 27, 28	mp2an 696	. . . . . 6 |- (N - 1) e. ZZ
30	26, 29	climshft 7072	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1)) ~~> A <-> ( + seq1 (F shift (1 - M))) ~~> A))
31	12	opreq1i 3968	. . . . . . . . . 10 |- (G shift (1 - N)) = ((F shift K) shift (1 - N))
32		zcnt 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
33	6, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- K e. CC
34		ax1cn 5256	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
35		zcnt 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
36	9, 35	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- N e. CC
37	34, 36	subcl 5353	. . . . . . . . . . 11 |- (1 - N) e. CC
38	19	2shft 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. CC /\ (1 - N) e. CC) -> ((F shift K) shift (1 - N)) = (F shift (K + (1 - N))))
39	33, 37, 38	mp2an 696	. . . . . . . . . 10 |- ((F shift K) shift (1 - N)) = (F shift (K + (1 - N)))
40		subsubt 5449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((1 e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> (1 - (N - K)) = ((1 - N) + K))
41	34, 36, 33, 40	mp3an 915	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 - (N - K)) = ((1 - N) + K)
42	4	eqcomi 1478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (M + K) = N
43		zcnt 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
44	5, 43	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M e. CC
45	36, 33, 44	subadd2 5360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N - K) = M <-> (M + K) = N)
46	42, 45	mpbir 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N - K) = M
47	46	opreq2i 3969	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 - (N - K)) = (1 - M)
48	37, 33	addcom 5309	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 - N) + K) = (K + (1 - N))
49	41, 47, 48	3eqtr3r 1503	. . . . . . . . . . 11 |- (K + (1 - N)) = (1 - M)
50	49	opreq2i 3969	. . . . . . . . . 10 |- (F shift (K + (1 - N))) = (F shift (1 - M))
51	31, 39, 50	3eqtr 1498	. . . . . . . . 9 |- (G shift (1 - N)) = (F shift (1 - M))
52	51	opreq2i 3969	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 (G shift (1 - N))) = ( + seq1 (F shift (1 - M)))
53	52	opreq1i 3968	. . . . . . 7 |- (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) = (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1))
54	53	breq1i 2623	. . . . . 6 |- ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A <-> (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1)) ~~> A)
55	54	a1i 8	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A <-> (( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (N - 1)) ~~> A))
56		zsubclt 6129	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ 1 e. ZZ) -> (M - 1) e. ZZ)
57	5, 27, 56	mp2an 696	. . . . . 6 |- (M - 1) e. ZZ
58	26, 57	climshft 7072	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) ~~> A <-> ( + seq1 (F shift (1 - M))) ~~> A))
59	30, 55, 58	3bitr4rd 550	. . . 4 |- (A e. CC -> ((( + seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) ~~> A <-> (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A))
60	23, 25, 59	3bitrd 543	. . 3 |- (A e. CC -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (( + seq1 (G shift (1 - N))) shift (N - 1)) ~~> A))
61	10, 18, 60	3bitr4rd 550	. 2 |- (A e. CC -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.N, + >. seq G) ~~> A))
62	1, 2, 61	pm5.21nd 679	1 |- (A e. B -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> (<.N, + >. seq G) ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809  <.cop 2409   class class class wbr 2616   |` cres 3169  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  1c1 5222   + caddc 5224   - cmin 5279  ZZcz 5285   seq1 cseq1 6262   shift cshi 6295  ZZ>cuz 6367   seq cseqz 6481   ~~> cli 6942

This theorem is referenced by:  isumshft 7175  isumshft2 7176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-n 5887  df-n0 6061  df-z 6097  df-shft 6296  df-uz 6368  df-seqz 6483  df-clim 6943

Copyright terms: Public domain