Theorem iseuctopg 10483

Description: The predicate "J belongs to the euclidean topology."

Assertion

Ref	Expression
iseuctopg	|- (J e. A -> (J e. EucTop <-> (J (_ RR /\ A.y e. J E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ J))))

Distinct variable group:   J,a,b,y

Proof of Theorem iseuctopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2080	. . 3 |- (x = J -> (x (_ RR <-> J (_ RR))
2		sseq2 2081	. . . . . 6 |- (x = J -> ((a(,)b) (_ x <-> (a(,)b) (_ J))
3	2	anbi2d 615	. . . . 5 |- (x = J -> ((y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ x) <-> (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ J)))
4	3	2rexbidv 1680	. . . 4 |- (x = J -> (E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ x) <-> E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ J)))
5	4	raleqd 1790	. . 3 |- (x = J -> (A.y e. x E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ x) <-> A.y e. J E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ J)))
6	1, 5	anbi12d 627	. 2 |- (x = J -> ((x (_ RR /\ A.y e. x E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ x)) <-> (J (_ RR /\ A.y e. J E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ J))))
7		df-EucTop 10482	. 2 |- EucTop = {x | (x (_ RR /\ A.y e. x E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ x))}
8	6, 7	elab2g 1898	1 |- (J e. A -> (J e. EucTop <-> (J (_ RR /\ A.y e. J E.a e. RR E.b e. RR (y e. (a(,)b) /\ (a(,)b) (_ J))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645   (_ wss 2045  (class class class)co 3960  RRcr 5220  (,)cioo 6312  EucTopceuctop 10481

This theorem is referenced by:  iseuctopgb 10484  osbr 10485  osbs 10486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-in 2049  df-ss 2051  df-EucTop 10482

Copyright terms: Public domain