MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin1-3 Unicode version

Theorem isfin1-3 8028
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )

Proof of Theorem isfin1-3
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 porpss 6297 . . . 4  |- [ C.]  Po  ~P A
2 cnvpo 5229 . . . 4  |-  ( [ C.]  Po  ~P A  <->  `' [ C.]  Po  ~P A )
31, 2mpbi 199 . . 3  |-  `' [ C.]  Po  ~P A
4 pwfi 7167 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
54biimpi 186 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
6 frfi 7118 . . 3  |-  ( ( `' [ C.]  Po  ~P A  /\  ~P A  e.  Fin )  ->  `' [ C.]  Fr  ~P A )
73, 5, 6sylancr 644 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' [ C.] 
Fr  ~P A )
8 inss2 3403 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  ~P A
9 pwexg 4210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
10 ssexg 4176 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  C_  ~P A  /\  ~P A  e. 
_V )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
118, 9, 10sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
12 0fin 7103 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
13 0elpw 4196 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
14 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( (/)  e.  Fin  /\  (/)  e.  ~P A ) )
1512, 13, 14mpbir2an 886 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)
16 ne0i 3474 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  =/=  (/)
18 fri 4371 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  /\  ( ( Fin  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A  /\  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) ) )  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)  -.  c `' [
C.]  b )
198, 17, 18mpanr12 666 . . . . 5  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2011, 19sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2120ex 423 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b ) )
22 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  Fin
23 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
2422, 23sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  Fin )
25 ralnex 2566 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  <->  -. 
E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) c `' [ C.]  b )
2622sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  Fin )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  e.  Fin )
28 snfi 6957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { d }  e.  Fin
29 unfi 7140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  { d }  e.  Fin )  ->  ( b  u. 
{ d } )  e.  Fin )
3027, 28, 29sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  Fin )
31 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( b  e.  Fin  /\  b  e. 
~P A ) )
3231simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  ~P A )
33 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  b  e. 
_V
3433elpw 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ~P A  <->  b  C_  A )
3532, 34sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  C_  A )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C_  A )
37 snssi 3775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  A  ->  { d }  C_  A )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  { d }  C_  A )
3936, 38unssd 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  C_  A
)
40 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { d }  e.  _V
4133, 40unex 4534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  u.  { d } )  e.  _V
4241elpw 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } )  e.  ~P A 
<->  ( b  u.  {
d } )  C_  A )
4339, 42sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ~P A )
44 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)  <->  ( ( b  u.  { d } )  e.  Fin  /\  ( b  u.  {
d } )  e. 
~P A ) )
4530, 43, 44sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
46 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  i^i  { d } )  =  (/)  <->  -.  d  e.  b )
4746biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
( b  i^i  {
d } )  =  (/) )
48 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  d  e. 
_V
4948snnz 3757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { d }  =/=  (/)
50 disjpss 3518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  i^i  {
d } )  =  (/)  /\  { d }  =/=  (/) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
5147, 49, 50sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5251ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
5341, 33brcnv 4880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b [ C.]  ( b  u.  { d } ) )
5441brrpss 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b [
C.]  ( b  u. 
{ d } )  <-> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5553, 54bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5652, 55sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )
57 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  u. 
{ d } )  ->  ( c `' [
C.]  b  <->  ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b ) )
5857rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  u.  {
d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  /\  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
5945, 56, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
6059expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  d  e.  b  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b ) )
6160con1d 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6225, 61syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6362impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  ( d  e.  A  ->  d  e.  b ) )
6463ssrdv 3198 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  C_  b
)
65 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  A  C_  b )  ->  A  e.  Fin )
6624, 64, 65syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  e.  Fin )
6766rexlimiva 2675 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  A  e.  Fin )
6821, 67syl6 29 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  A  e.  Fin )
)
697, 68impbid2 195 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039    Po wpo 4328    Fr wfr 4365   `'ccnv 4704   [ C.] crpss 6292   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  isfin1-4  8029  fin12  8055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rpss 6293  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator