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Theorem isfin1-3 8008
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem isfin1-3
StepHypRef Expression
1 porpss 6243 . . . 4  |- [ C.]  Po  ~P A
2 cnvpo 5212 . . . 4  |-  ( [ C.]  Po  ~P A  <->  `' [ C.]  Po  ~P A )
31, 2mpbi 201 . . 3  |-  `' [ C.]  Po  ~P A
4 pwfi 7147 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
54biimpi 188 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
6 frfi 7098 . . 3  |-  ( ( `' [ C.]  Po  ~P A  /\  ~P A  e.  Fin )  ->  `' [ C.]  Fr  ~P A )
73, 5, 6sylancr 646 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' [ C.] 
Fr  ~P A )
8 inss2 3392 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  ~P A
9 pwexg 4194 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
10 ssexg 4162 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  C_  ~P A  /\  ~P A  e. 
_V )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
118, 9, 10sylancr 646 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
12 0fin 7083 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
13 0elpw 4180 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
14 elin 3360 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( (/)  e.  Fin  /\  (/)  e.  ~P A ) )
1512, 13, 14mpbir2an 888 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)
16 ne0i 3463 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) )
1715, 16ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  =/=  (/)
18 fri 4355 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  /\  ( ( Fin  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A  /\  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) ) )  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)  -.  c `' [
C.]  b )
198, 17, 18mpanr12 668 . . . . 5  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2011, 19sylan 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2120ex 425 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b ) )
22 inss1 3391 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  Fin
23 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
2422, 23sseldi 3180 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  Fin )
25 ralnex 2555 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  <->  -. 
E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) c `' [ C.]  b )
2622sseli 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  Fin )
2726adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  e.  Fin )
28 snfi 6937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { d }  e.  Fin
29 unfi 7120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  { d }  e.  Fin )  ->  ( b  u. 
{ d } )  e.  Fin )
3027, 28, 29sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  Fin )
31 elin 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( b  e.  Fin  /\  b  e. 
~P A ) )
3231simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  ~P A )
33 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  b  e. 
_V
3433elpw 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ~P A  <->  b  C_  A )
3532, 34sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  C_  A )
3635adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C_  A )
37 snssi 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  A  ->  { d }  C_  A )
3837ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  { d }  C_  A )
3936, 38unssd 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  C_  A
)
40 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { d }  e.  _V
4133, 40unex 4518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  u.  { d } )  e.  _V
4241elpw 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } )  e.  ~P A 
<->  ( b  u.  {
d } )  C_  A )
4339, 42sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ~P A )
44 elin 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)  <->  ( ( b  u.  { d } )  e.  Fin  /\  ( b  u.  {
d } )  e. 
~P A ) )
4530, 43, 44sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
46 disjsn 3695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  i^i  { d } )  =  (/)  <->  -.  d  e.  b )
4746biimpri 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
( b  i^i  {
d } )  =  (/) )
48 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  d  e. 
_V
4948snnz 3746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { d }  =/=  (/)
50 disjpss 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  i^i  {
d } )  =  (/)  /\  { d }  =/=  (/) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
5147, 49, 50sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5251ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
5341, 33brcnv 4864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b [ C.]  ( b  u.  { d } ) )
5441brrpss 6242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b [
C.]  ( b  u. 
{ d } )  <-> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5553, 54bitri 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5652, 55sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )
57 breq1 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  u. 
{ d } )  ->  ( c `' [
C.]  b  <->  ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b ) )
5857rspcev 2886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  u.  {
d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  /\  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
5945, 56, 58syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
6059expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  d  e.  b  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b ) )
6160con1d 118 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6225, 61syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6362impancom 429 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  ( d  e.  A  ->  d  e.  b ) )
6463ssrdv 3187 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  C_  b
)
65 ssfi 7079 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  A  C_  b )  ->  A  e.  Fin )
6624, 64, 65syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  e.  Fin )
6766rexlimiva 2664 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  A  e.  Fin )
6821, 67syl6 31 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  A  e.  Fin )
)
697, 68impbid2 197 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    u. cun 3152    i^i cin 3153    C_ wss 3154    C. wpss 3155   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   {csn 3642   class class class wbr 4025    Po wpo 4312    Fr wfr 4349   `'ccnv 4688   [ C.] crpss 6238   Fincfn 6859
This theorem is referenced by:  isfin1-4  8009  fin12  8035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-rpss 6239  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863
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