MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Unicode version

Theorem isfinite 7237
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 7228 . 2  |-  om  e.  _V
2 isfiniteg 7002 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
31, 2ax-mp 10 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1621   _Vcvv 2727   class class class wbr 3920   omcom 4547    ~< csdm 6748   Fincfn 6749
This theorem is referenced by:  infxpenlem  7525  pwsdompw  7714  cflim2  7773  axcc4dom  7951  domtriom  7953  fin41  7954  dominf  7955  dominfac  8075  cfpwsdom  8086  canthp1lem2  8155  pwfseqlem3  8162  pwfseqlem4a  8163  pwfseqlem4  8164  gchhar  8173  gchpwdom  8176  gchaleph  8177  omina  8193  gchina  8201  tskpr  8272  rexpen  12380  odinf  14711  fctop2  16574  dis1stc  17057  ovolfi  18685  iunmbl2  18746  dyadmbl  18787  isfinite1b  24271  cptwff  24272  heiborlem3  25703  ctbnfien  26067  pellex  26086  numinfctb  26434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753
  Copyright terms: Public domain W3C validator