MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Structured version   Unicode version

Theorem isfinite 7600
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 7591 . 2  |-  om  e.  _V
2 isfiniteg 7360 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1725   _Vcvv 2949   class class class wbr 4205   omcom 4838    ~< csdm 7101   Fincfn 7102
This theorem is referenced by:  infxpenlem  7888  pwsdompw  8077  cflim2  8136  axcc4dom  8314  domtriom  8316  fin41  8317  dominf  8318  infinf  8434  unirnfdomd  8435  dominfac  8441  cfpwsdom  8452  canthp1lem2  8521  pwfseqlem3  8528  pwfseqlem4a  8529  pwfseqlem4  8530  gchhar  8539  gchpwdom  8542  gchaleph  8543  omina  8559  gchina  8567  tskpr  8638  rexpen  12820  odinf  15192  fctop2  17062  dis1stc  17555  ovolfi  19383  iunmbl2  19444  dyadmbl  19485  sigaclfu  24495  sibfof  24647  mblfinlem  26235  ovoliunnfl  26239  heiborlem3  26514  ctbnfien  26871  pellex  26890  numinfctb  27237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106
  Copyright terms: Public domain W3C validator