Theorem isfinite 4614

Description: A set is strictly dominated by the class of natural numbers iff it is finite. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem provides two equivalent ways to express "A is finite." The Axiom of Infinity is used for the reverse implication.

Assertion

Ref	Expression
isfinite	|- (A ~< om <-> E.x e. om A ~~ x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem isfinite

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 4529	. 2 |- (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x)
2		isfinite1 4516	. . 3 |- (E.x e. om A ~~ x -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))
3		omex 4607	. . . . . . 7 |- om e. V
4	3	ensym 4399	. . . . . 6 |- (A ~~ om -> om ~~ A)
5	4	con3i 98	. . . . 5 |- (-. om ~~ A -> -. A ~~ om)
6	5	anim2i 335	. . . 4 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
7		brsdom 4369	. . . 4 |- (A ~< om <-> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
8	6, 7	sylibr 200	. . 3 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> A ~< om)
9	2, 8	syl 10	. 2 |- (E.x e. om A ~~ x -> A ~< om)
10	1, 9	impbi 157	1 |- (A ~< om <-> E.x e. om A ~~ x)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  dominf 4884  fctop2 7601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain