MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Unicode version

Theorem isfinite 7567
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 7558 . 2  |-  om  e.  _V
2 isfiniteg 7330 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1721   _Vcvv 2920   class class class wbr 4176   omcom 4808    ~< csdm 7071   Fincfn 7072
This theorem is referenced by:  infxpenlem  7855  pwsdompw  8044  cflim2  8103  axcc4dom  8281  domtriom  8283  fin41  8284  dominf  8285  infinf  8401  unirnfdomd  8402  dominfac  8408  cfpwsdom  8419  canthp1lem2  8488  pwfseqlem3  8495  pwfseqlem4a  8496  pwfseqlem4  8497  gchhar  8506  gchpwdom  8509  gchaleph  8510  omina  8526  gchina  8534  tskpr  8605  rexpen  12786  odinf  15158  fctop2  17028  dis1stc  17519  ovolfi  19347  iunmbl2  19408  dyadmbl  19449  sigaclfu  24459  sibfof  24611  mblfinlem  26147  ovoliunnfl  26151  heiborlem3  26416  ctbnfien  26773  pellex  26792  numinfctb  27140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076
  Copyright terms: Public domain W3C validator