MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Unicode version

Theorem isfinite 7540
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 7531 . 2  |-  om  e.  _V
2 isfiniteg 7303 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   class class class wbr 4153   omcom 4785    ~< csdm 7044   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  infxpenlem  7828  pwsdompw  8017  cflim2  8076  axcc4dom  8254  domtriom  8256  fin41  8257  dominf  8258  infinf  8374  unirnfdomd  8375  dominfac  8381  cfpwsdom  8392  canthp1lem2  8461  pwfseqlem3  8468  pwfseqlem4a  8469  pwfseqlem4  8470  gchhar  8479  gchpwdom  8482  gchaleph  8483  omina  8499  gchina  8507  tskpr  8578  rexpen  12754  odinf  15126  fctop2  16992  dis1stc  17483  ovolfi  19257  iunmbl2  19318  dyadmbl  19359  sigaclfu  24298  ovoliunnfl  25953  heiborlem3  26213  ctbnfien  26570  pellex  26589  numinfctb  26937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator