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Theorem isfinite2 7000
Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isfinite2  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem isfinite2
StepHypRef Expression
1 relsdom 6756 . . 3  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4637 . 2  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
3 sdomdom 6775 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  A  ~<_  om )
4 domeng 6762 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<_  om  <->  E. y ( A 
~~  y  /\  y  C_ 
om ) ) )
53, 4syl5ib 212 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<  om  ->  E. y
( A  ~~  y  /\  y  C_  om )
) )
6 ensym 6796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  y  ->  y  ~~  A )
76ad2antrl 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  ~~  A )
8 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  ~<  om )
9 ensdomtr 6882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  A  /\  A  ~<  om )  ->  y  ~<  om )
107, 8, 9syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  ~<  om )
11 sdomnen 6776 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
~<  om  ->  -.  y  ~~  om )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  -.  y  ~~  om )
13 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~~  y  /\  y  C_  om )  -> 
y  C_  om )
14 unbnn 6998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  y  C_  om  /\  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w )  ->  y  ~~  om )
15143expia 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  _V  /\  y  C_  om )  -> 
( A. z  e. 
om  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  ~~  om )
)
162, 13, 15syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
( A. z  e. 
om  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  ~~  om )
)
1712, 16mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w )
18 rexnal 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  om  -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w
)
19 omsson 4551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  C_  On
20 sstr 3108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  y  C_  On )
2119, 20mpan2 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  om  ->  y  C_  On )
22 nnord 4555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
23 ssel2 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  On )
24 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
2524elon 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  On  <->  Ord  w )
2623, 25sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  ->  Ord  w )
27 ordtri1 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  w  /\  Ord  z )  ->  (
w  C_  z  <->  -.  z  e.  w ) )
2826, 27sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  /\  Ord  z )  ->  ( w  C_  z 
<->  -.  z  e.  w
) )
2928an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  C_  On  /\ 
Ord  z )  /\  w  e.  y )  ->  ( w  C_  z  <->  -.  z  e.  w ) )
3029ralbidva 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( A. w  e.  y  w  C_  z  <->  A. w  e.  y  -.  z  e.  w ) )
31 unissb 3755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. y  C_  z  <->  A. w  e.  y  w  C_  z
)
32 ralnex 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  y  -.  z  e.  w  <->  -.  E. w  e.  y  z  e.  w )
3332bicomi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
E. w  e.  y  z  e.  w  <->  A. w  e.  y  -.  z  e.  w )
3430, 31, 333bitr4g 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( U. y  C_  z  <->  -.  E. w  e.  y  z  e.  w ) )
35 ordunisssuc 4386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( U. y  C_  z  <->  y  C_  suc  z ) )
3634, 35bitr3d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  y  C_  suc  z ) )
3721, 22, 36syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  y  C_  suc  z ) )
38 peano2b 4563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  <->  suc  z  e. 
om )
39 ssnnfi 6967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  z  e.  om  /\  y  C_  suc  z )  ->  y  e.  Fin )
4038, 39sylanb 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  om  /\  y  C_  suc  z )  ->  y  e.  Fin )
4140ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  (
y  C_  suc  z  -> 
y  e.  Fin )
)
4241adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  (
y  C_  suc  z  -> 
y  e.  Fin )
)
4337, 42sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  e.  Fin )
)
4443rexlimdva 2629 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  om  ->  ( E. z  e.  om  -.  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin ) )
4518, 44syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  om  ->  ( -. 
A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin ) )
4645ad2antll 712 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
( -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin )
)
4717, 46mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  e.  Fin )
48 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  ~~  y )
49 enfii 6965 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A  ~~  y )  ->  A  e.  Fin )
5047, 48, 49syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  e.  Fin )
5150ex 425 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  ( ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om )  ->  A  e.  Fin ) )
5251exlimdv 1932 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  ( E. y ( A  ~~  y  /\  y  C_  om )  ->  A  e.  Fin )
)
535, 52sylcom 27 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<  om  ->  A  e. 
Fin ) )
542, 53mpcom 34 1  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   U.cuni 3727   class class class wbr 3920   Ord word 4284   Oncon0 4285   suc csuc 4287   omcom 4547    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748   Fincfn 6749
This theorem is referenced by:  isfiniteg  7002  unfi2  7011  unifi2  7031  axcclem  7967  dirith2  20509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753
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