Theorem isfinite2 4692

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	|- (A ~< om -> A e. Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 4618	. . 3 |- (A ~< om -> (A e. V /\ om e. V))
2	1	pm3.27d 323	. 2 |- (A ~< om -> om e. V)
3		domeng 4521	. . . 4 |- (om e. V -> (A ~<_ om <-> E.y(A ~~ y /\ y (_ om)))
4		sdomdom 4527	. . . 4 |- (A ~< om -> A ~<_ om)
5	3, 4	syl5bi 206	. . 3 |- (om e. V -> (A ~< om -> E.y(A ~~ y /\ y (_ om)))
6		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
7	6	unbnn 4690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z e. w) -> y ~~ om)
8	7	ex 371	. . . . . . . . . . . 12 |- (y (_ om -> (A.z e. om E.w e. y z e. w -> y ~~ om))
9		sdomnen 4528	. . . . . . . . . . . 12 |- (y ~< om -> -. y ~~ om)
10	8, 9	nsyli 120	. . . . . . . . . . 11 |- (y (_ om -> (y ~< om -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
11		ensdomtr 4616	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y ~~ A /\ A ~< om) -> y ~< om)
12	6	ensym 4553	. . . . . . . . . . . 12 |- (A ~~ y -> y ~~ A)
13	11, 12	sylan 450	. . . . . . . . . . 11 |- ((A ~~ y /\ A ~< om) -> y ~< om)
14	10, 13	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
15		ordtri1 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Ord w /\ Ord z) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
16		ssel2 2116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y (_ On /\ w e. y) -> w e. On)
17		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. V
18	17	elon 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w e. On <-> Ord w)
19	16, 18	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y (_ On /\ w e. y) -> Ord w)
20	15, 19	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y (_ On /\ w e. y) /\ Ord z) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
21	20	an1rs 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y (_ On /\ Ord z) /\ w e. y) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
22	21	ralbidva 1705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (A.w e. y w (_ z <-> A.w e. y -. z e. w))
23		unissb 2595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (U.y (_ z <-> A.w e. y w (_ z)
24		ralnex 1699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.w e. y -. z e. w <-> -. E.w e. y z e. w)
25	24	bicomi 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. E.w e. y z e. w <-> A.w e. y -. z e. w)
26	22, 23, 25	3bitr4g 558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (U.y (_ z <-> -. E.w e. y z e. w))
27		ordunisssuc 3072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (U.y (_ z <-> y (_ suc z))
28	26, 27	bitr3d 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y (_ suc z))
29		omsson 3223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om (_ On
30		sstr 2124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ om /\ om (_ On) -> y (_ On)
31	29, 30	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y (_ om -> y (_ On)
32		nnord 3227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> Ord z)
33	28, 31, 32	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y (_ suc z))
34		ssnnfi 4682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((suc z e. om /\ y (_ suc z) -> y e. Fin)
35		peano2b 3234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. om <-> suc z e. om)
36	34, 35	sylanb 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. om /\ y (_ suc z) -> y e. Fin)
37	36	ex 371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> (y (_ suc z -> y e. Fin))
38	37	adantl 388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (y (_ suc z -> y e. Fin))
39	33, 38	sylbid 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
40	39	r19.23adva 1793	. . . . . . . . . . 11 |- (y (_ om -> (E.z e. om -. E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
41		rexnal 1700	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. om -. E.w e. y z e. w <-> -. A.z e. om E.w e. y z e. w)
42	40, 41	syl5ibr 205	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ om -> (-. A.z e. om E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
43	14, 42	syld 27	. . . . . . . . 9 |- (y (_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> y e. Fin))
44	43	expdimp 375	. . . . . . . 8 |- ((y (_ om /\ A ~~ y) -> (A ~< om -> y e. Fin))
45		enfi 4680	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. V /\ A ~~ y) -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
46	6, 45	mpan 699	. . . . . . . . 9 |- (A ~~ y -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
47	46	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((y (_ om /\ A ~~ y) -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
48	44, 47	sylibrd 202	. . . . . . 7 |- ((y (_ om /\ A ~~ y) -> (A ~< om -> A e. Fin))
49	48	ex 371	. . . . . 6 |- (y (_ om -> (A ~~ y -> (A ~< om -> A e. Fin)))
50	49	com13 33	. . . . 5 |- (A ~< om -> (A ~~ y -> (y (_ om -> A e. Fin)))
51	50	imp3a 359	. . . 4 |- (A ~< om -> ((A ~~ y /\ y (_ om) -> A e. Fin))
52	51	19.23adv 1251	. . 3 |- (A ~< om -> (E.y(A ~~ y /\ y (_ om) -> A e. Fin))
53	5, 52	sylcom 51	. 2 |- (om e. V -> (A ~< om -> A e. Fin))
54	2, 53	mpcom 49	1 |- (A ~< om -> A e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 994  E.wex 1016  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   (_ wss 2099  U.cuni 2569   class class class wbr 2692  Ord word 2974  Oncon0 2975  suc csuc 2977  omcom 3218   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507  Fincfn 4508

This theorem is referenced by:  unfi2 4698  unifi2 4702  isfinite 4780  sucdom 4992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-fin 4512

Copyright terms: Public domain