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Theorem isfinite2 7110
Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isfinite2  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem isfinite2
StepHypRef Expression
1 relsdom 6865 . . 3  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4729 . 2  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
3 sdomdom 6884 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  A  ~<_  om )
4 domeng 6871 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<_  om  <->  E. y ( A 
~~  y  /\  y  C_ 
om ) ) )
53, 4syl5ib 212 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<  om  ->  E. y
( A  ~~  y  /\  y  C_  om )
) )
6 ensym 6905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  y  ->  y  ~~  A )
76ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  ~~  A )
8 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  ~<  om )
9 ensdomtr 6992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  A  /\  A  ~<  om )  ->  y  ~<  om )
107, 8, 9syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  ~<  om )
11 sdomnen 6885 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
~<  om  ->  -.  y  ~~  om )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  -.  y  ~~  om )
13 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~~  y  /\  y  C_  om )  -> 
y  C_  om )
14 unbnn 7108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  y  C_  om  /\  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w )  ->  y  ~~  om )
15143expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  _V  /\  y  C_  om )  -> 
( A. z  e. 
om  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  ~~  om )
)
162, 13, 15syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
( A. z  e. 
om  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  ~~  om )
)
1712, 16mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w )
18 rexnal 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  om  -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w
)
19 omsson 4659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  C_  On
20 sstr 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  y  C_  On )
2119, 20mpan2 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  om  ->  y  C_  On )
22 nnord 4663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
23 ssel2 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  On )
24 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
2524elon 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  On  <->  Ord  w )
2623, 25sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  ->  Ord  w )
27 ordtri1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  w  /\  Ord  z )  ->  (
w  C_  z  <->  -.  z  e.  w ) )
2826, 27sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  /\  Ord  z )  ->  ( w  C_  z 
<->  -.  z  e.  w
) )
2928an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  C_  On  /\ 
Ord  z )  /\  w  e.  y )  ->  ( w  C_  z  <->  -.  z  e.  w ) )
3029ralbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( A. w  e.  y  w  C_  z  <->  A. w  e.  y  -.  z  e.  w ) )
31 unissb 3858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. y  C_  z  <->  A. w  e.  y  w  C_  z
)
32 ralnex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  y  -.  z  e.  w  <->  -.  E. w  e.  y  z  e.  w )
3332bicomi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
E. w  e.  y  z  e.  w  <->  A. w  e.  y  -.  z  e.  w )
3430, 31, 333bitr4g 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( U. y  C_  z  <->  -.  E. w  e.  y  z  e.  w ) )
35 ordunisssuc 4494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( U. y  C_  z  <->  y  C_  suc  z ) )
3634, 35bitr3d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  y  C_  suc  z ) )
3721, 22, 36syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  y  C_  suc  z ) )
38 peano2b 4671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  <->  suc  z  e. 
om )
39 ssnnfi 7077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  z  e.  om  /\  y  C_  suc  z )  ->  y  e.  Fin )
4038, 39sylanb 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  om  /\  y  C_  suc  z )  ->  y  e.  Fin )
4140ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  (
y  C_  suc  z  -> 
y  e.  Fin )
)
4241adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  (
y  C_  suc  z  -> 
y  e.  Fin )
)
4337, 42sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  e.  Fin )
)
4443rexlimdva 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  om  ->  ( E. z  e.  om  -.  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin ) )
4518, 44syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  om  ->  ( -. 
A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin ) )
4645ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
( -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin )
)
4717, 46mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  e.  Fin )
48 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  ~~  y )
49 enfii 7075 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A  ~~  y )  ->  A  e.  Fin )
5047, 48, 49syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  e.  Fin )
5150ex 425 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  ( ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om )  ->  A  e.  Fin ) )
5251exlimdv 1665 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  ( E. y ( A  ~~  y  /\  y  C_  om )  ->  A  e.  Fin )
)
535, 52sylcom 27 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<  om  ->  A  e. 
Fin ) )
542, 53mpcom 34 1  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1529    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   U.cuni 3828   class class class wbr 4024   Ord word 4390   Oncon0 4391   suc csuc 4393   omcom 4655    ~~ cen 6855    ~<_ cdom 6856    ~< csdm 6857   Fincfn 6858
This theorem is referenced by:  isfiniteg  7112  unfi2  7121  unifi2  7141  axcclem  8078  dirith2  20671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862
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