Theorem isfinite2 4529

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	|- (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem isfinite2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 4459	. . 3 |- (A ~< om -> (A e. V /\ om e. V))
2	1	pm3.27d 325	. 2 |- (A ~< om -> om e. V)
3		domeng 4368	. . . 4 |- (om e. V -> (A ~<_ om <-> E.y(A ~~ y /\ y (_ om)))
4		sdomdom 4373	. . . 4 |- (A ~< om -> A ~<_ om)
5	3, 4	syl5bi 208	. . 3 |- (om e. V -> (A ~< om -> E.y(A ~~ y /\ y (_ om)))
6		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
7	6	unbnn 4527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z e. w) -> y ~~ om)
8	7	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (y (_ om -> (A.z e. om E.w e. y z e. w -> y ~~ om))
9		sdomnen 4374	. . . . . . . . . . . 12 |- (y ~< om -> -. y ~~ om)
10	8, 9	nsyli 121	. . . . . . . . . . 11 |- (y (_ om -> (y ~< om -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
11		ensdomtr 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y ~~ A /\ A ~< om) -> y ~< om)
12	6	ensym 4399	. . . . . . . . . . . 12 |- (A ~~ y -> y ~~ A)
13	11, 12	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 |- ((A ~~ y /\ A ~< om) -> y ~< om)
14	10, 13	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
15		ordtri1 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Ord w /\ Ord z) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
16		ssel2 2060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y (_ On /\ w e. y) -> w e. On)
17		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. V
18	17	elon 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w e. On <-> Ord w)
19	16, 18	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y (_ On /\ w e. y) -> Ord w)
20	15, 19	sylan 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y (_ On /\ w e. y) /\ Ord z) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
21	20	an1rs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y (_ On /\ Ord z) /\ w e. y) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
22	21	ralbidva 1656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (A.w e. y w (_ z <-> A.w e. y -. z e. w))
23		unissb 2523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (U.y (_ z <-> A.w e. y w (_ z)
24		ralnex 1650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.w e. y -. z e. w <-> -. E.w e. y z e. w)
25	24	bicomi 172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. E.w e. y z e. w <-> A.w e. y -. z e. w)
26	22, 23, 25	3bitr4g 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (U.y (_ z <-> -. E.w e. y z e. w))
27		ordunisssuc 3078	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (U.y (_ z <-> y (_ suc z))
28	26, 27	bitr3d 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y (_ suc z))
29		omsson 3131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om (_ On
30		sstr 2068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ om /\ om (_ On) -> y (_ On)
31	29, 30	mpan2 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y (_ om -> y (_ On)
32		nnord 3135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> Ord z)
33	28, 31, 32	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y (_ suc z))
34		ssnn 4520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((suc z e. om /\ y (_ suc z) -> E.x e. om y ~~ x)
35		peano2b 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. om <-> suc z e. om)
36	34, 35	sylanb 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. om /\ y (_ suc z) -> E.x e. om y ~~ x)
37	36	ex 373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> (y (_ suc z -> E.x e. om y ~~ x))
38	37	adantl 388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (y (_ suc z -> E.x e. om y ~~ x))
39	33, 38	sylbid 203	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w -> E.x e. om y ~~ x))
40	39	r19.23adva 1744	. . . . . . . . . . 11 |- (y (_ om -> (E.z e. om -. E.w e. y z e. w -> E.x e. om y ~~ x))
41		rexnal 1651	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. om -. E.w e. y z e. w <-> -. A.z e. om E.w e. y z e. w)
42	40, 41	syl5ibr 207	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ om -> (-. A.z e. om E.w e. y z e. w -> E.x e. om y ~~ x))
43	14, 42	syld 27	. . . . . . . . 9 |- (y (_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> E.x e. om y ~~ x))
44	43	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((y (_ om /\ (A ~~ y /\ A ~< om)) -> E.x e. om y ~~ x)
45		entrt 4401	. . . . . . . . . . 11 |- ((A ~~ y /\ y ~~ x) -> A ~~ x)
46	45	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (A ~~ y -> (y ~~ x -> A ~~ x))
47	46	r19.22sdv 1735	. . . . . . . . 9 |- (A ~~ y -> (E.x e. om y ~~ x -> E.x e. om A ~~ x))
48	47	ad2antrl 406	. . . . . . . 8 |- ((y (_ om /\ (A ~~ y /\ A ~< om)) -> (E.x e. om y ~~ x -> E.x e. om A ~~ x))
49	44, 48	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((y (_ om /\ (A ~~ y /\ A ~< om)) -> E.x e. om A ~~ x)
50	49	exp32 377	. . . . . 6 |- (y (_ om -> (A ~~ y -> (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x)))
51	50	com13 33	. . . . 5 |- (A ~< om -> (A ~~ y -> (y (_ om -> E.x e. om A ~~ x)))
52	51	imp3a 361	. . . 4 |- (A ~< om -> ((A ~~ y /\ y (_ om) -> E.x e. om A ~~ x))
53	52	19.23adv 1212	. . 3 |- (A ~< om -> (E.y(A ~~ y /\ y (_ om) -> E.x e. om A ~~ x))
54	5, 53	sylcom 51	. 2 |- (om e. V -> (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x))
55	2, 54	mpcom 49	1 |- (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  Ord word 2942  Oncon0 2943  suc csuc 2945  omcom 3126   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  unfi2 4535  unifi2 4539  isfinite 4614  sucdom 4822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain