MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfiniteg Unicode version

Theorem isfiniteg 7085
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfiniteg  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )

Proof of Theorem isfiniteg
StepHypRef Expression
1 isfi 6853 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 nnsdomg 7084 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  x  e.  om )  ->  x  ~<  om )
3 sdomen1 6973 . . . . 5  |-  ( A 
~~  x  ->  ( A  ~<  om  <->  x  ~<  om )
)
42, 3syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  x  e.  om )  ->  ( A  ~~  x  ->  A  ~<  om )
)
54rexlimdva 2642 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  ~<  om ) )
61, 5syl5bi 210 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  ->  A  ~<  om ) )
7 isfinite2 7083 . 2  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
86, 7impbid1 196 1  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   E.wrex 2519   _Vcvv 2763   class class class wbr 3997   omcom 4628    ~~ cen 6828    ~< csdm 6830   Fincfn 6831
This theorem is referenced by:  unfi2  7094  unifi2  7114  isfinite  7321  axcclem  8051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835
  Copyright terms: Public domain W3C validator