MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfiniteg Unicode version

Theorem isfiniteg 7050
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfiniteg  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )

Proof of Theorem isfiniteg
StepHypRef Expression
1 isfi 6818 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 nnsdomg 7049 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  x  e.  om )  ->  x  ~<  om )
3 sdomen1 6938 . . . . 5  |-  ( A 
~~  x  ->  ( A  ~<  om  <->  x  ~<  om )
)
42, 3syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  x  e.  om )  ->  ( A  ~~  x  ->  A  ~<  om )
)
54rexlimdva 2638 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  ~<  om ) )
61, 5syl5bi 210 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  ->  A  ~<  om ) )
7 isfinite2 7048 . 2  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
86, 7impbid1 196 1  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   E.wrex 2517   _Vcvv 2740   class class class wbr 3963   omcom 4593    ~~ cen 6793    ~< csdm 6795   Fincfn 6796
This theorem is referenced by:  unfi2  7059  unifi2  7079  isfinite  7286  axcclem  8016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator