MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isga Structured version   Unicode version

Theorem isga 15060
Description: The predicate "is a (left) group action." The group  G is said to act on the base set  Y of the action, which is not assumed to have any special properties. There is a related notion of right group action, but as the Wikipedia article explains, it is not mathematically interesting. The way actions are usually thought of is that each element  g of  G is a permutation of the elements of  Y (see gapm 15075). Since group theory was classically about symmetry groups, it is therefore likely that the notion of group action was useful even in early group theory. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isga.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isga.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
isga.3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
isga  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    y, X, z    x, Y, y, z   
x,  .(+) , y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y, z)    X( x)    .0. ( x, y, z)

Proof of Theorem isga
Dummy variables  g 
b  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ga 15059 . . 3  |-  GrpAct  =  ( g  e.  Grp , 
s  e.  _V  |->  [_ ( Base `  g )  /  b ]_ {
m  e.  ( s  ^m  ( b  X.  s ) )  | 
A. x  e.  s  ( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
21elmpt2cl 6280 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V ) )
3 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  g )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  e.  _V )
5 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  s  =  Y )
6 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( Base `  g
)  ->  b  =  ( Base `  g )
)
7 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  g  =  G )
87fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  =  ( Base `  G ) )
9 isga.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  G
)
108, 9syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  =  X )
116, 10sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  b  =  X )
1211, 5xpeq12d 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
b  X.  s )  =  ( X  X.  Y ) )
135, 12oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
s  ^m  ( b  X.  s ) )  =  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) ) )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  g  =  G )
1514fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( 0g `  g )  =  ( 0g `  G
) )
16 isga.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1715, 16syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( 0g `  g )  =  .0.  )
1817oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( 0g `  g
) m x )  =  (  .0.  m x ) )
1918eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( 0g `  g ) m x )  =  x  <->  (  .0.  m x )  =  x ) )
2014fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( +g  `  g )  =  ( +g  `  G
) )
21 isga.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2220, 21syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( +g  `  g )  = 
.+  )
2322oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
y ( +g  `  g
) z )  =  ( y  .+  z
) )
2423oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( ( y  .+  z ) m x ) )
2524eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2611, 25raleqbidv 2908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2711, 26raleqbidv 2908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2819, 27anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) ) )
295, 28raleqbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. x  e.  s 
( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) ) )
3013, 29rabeqbidv 2943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  { m  e.  ( s  ^m  (
b  X.  s ) )  |  A. x  e.  s  ( (
( 0g `  g
) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  =  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
314, 30csbied 3285 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  [_ ( Base `  g
)  /  b ]_ { m  e.  (
s  ^m  ( b  X.  s ) )  | 
A. x  e.  s  ( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  =  {
m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
32 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  e. 
_V
3332rabex 4346 . . . . . 6  |-  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  e.  _V
3431, 1, 33ovmpt2a 6196 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( G  GrpAct  Y )  =  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
3534eleq2d 2502 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  .(+)  e.  {
m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } ) )
36 oveq 6079 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  .(+)  ->  (  .0.  m x )  =  (  .0.  .(+)  x ) )
3736eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( (  .0.  m x )  =  x  <->  (  .0.  .(+) 
x )  =  x ) )
38 oveq 6079 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( y  .+  z ) m x )  =  ( ( y  .+  z )  .(+)  x ) )
39 oveq 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y m ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z m x ) ) )
40 oveq 6079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( z m x )  =  ( z  .(+)  x ) )
4140oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y 
.(+)  ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4239, 41eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y m ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4338, 42eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( ( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )
44432ralbidv 2739 . . . . . . 7  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )
4537, 44anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4645ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( A. x  e.  Y  (
(  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4746elrab 3084 . . . 4  |-  (  .(+)  e. 
{ m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  <->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4835, 47syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) ) )
49 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
50 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
519, 50eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
52 xpexg 4981 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
5351, 49, 52sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
54 elmapg 7023 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( X  X.  Y
)  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y ) )
5549, 53, 54syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y ) )
5655anbi1d 686 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )  <-> 
(  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) ) )
5748, 56bitrd 245 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  /\  A. x  e.  Y  (
(  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
582, 57biadan2 624 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948   [_csb 3243    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677    GrpAct cga 15058
This theorem is referenced by:  gagrp  15061  gaset  15062  gagrpid  15063  gaf  15064  gaass  15066  ga0  15067  gaid  15068  subgga  15069  gass  15070  gasubg  15071  lactghmga  15099  sylow1lem2  15225  sylow2blem2  15247  sylow3lem1  15253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-ga 15059
  Copyright terms: Public domain W3C validator