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Theorem isghm 14998
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w  |-  X  =  ( Base `  S
)
isghm.x  |-  Y  =  ( Base `  T
)
isghm.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
isghm.b  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
isghm  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, S    u, T, v    u, X, v    u,  .+ , v    u, Y, v    u,  .+^ , v    u, F, v

Proof of Theorem isghm
Dummy variables  t 
s  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 14996 . . 3  |-  GrpHom  =  ( s  e.  Grp , 
t  e.  Grp  |->  { f  |  [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) } )
21elmpt2cl 6280 . 2  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( S  e.  Grp  /\  T  e. 
Grp ) )
3 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  s )  e.  _V
4 feq2 5569 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( f : w --> ( Base `  t )  <->  f :
( Base `  s ) --> ( Base `  t )
) )
5 raleq 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) ) ) )
65raleqbi1dv 2904 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `
 ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) ) )
74, 6anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( (
f : w --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) )  <->  ( f : ( Base `  s
) --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  ( Base `  s
) A. v  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
83, 7sbcie 3187 . . . . . . 7  |-  ( [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) )  <->  ( f : ( Base `  s
) --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  ( Base `  s
) A. v  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
9 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
10 isghm.w . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  S
)
119, 10syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  X )
1211feq2d 5573 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
f : ( Base `  s ) --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> ( Base `  t
) ) )
13 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  S
) )
14 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .+  =  ( +g  `  S )
1513, 14syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  = 
.+  )
1615oveqd 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
u ( +g  `  s
) v )  =  ( u  .+  v
) )
1716fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( f `  (
u  .+  v )
) )
1817eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( f `  (
u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) )  <->  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
1911, 18raleqbidv 2908 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) )  <->  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
2011, 19raleqbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. u  e.  ( Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `
 ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
2112, 20anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( f : (
Base `  s ) --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  (
Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) ) )  <->  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
228, 21syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( [. ( Base `  s
)  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) )  <-> 
( f : X --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
2322abbidv 2549 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { f  |  [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) } )
24 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  ( Base `  T
) )
25 isghm.x . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( Base `  T
)
2624, 25syl6eqr 2485 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  Y )
27 feq3 5570 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  t )  =  Y  ->  ( f : X --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> Y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
f : X --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> Y ) )
29 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  =  ( +g  `  T
) )
30 isghm.b . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
3129, 30syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  = 
.+^  )
3231oveqd 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) )
3332eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  <->  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) ) ) )
34332ralbidv 2739 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) ) ) )
3528, 34anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( f : X --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) )  <-> 
( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) ) )
3635abbidv 2549 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  { f  |  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) } )
37 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  e.  _V
3810, 37eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
39 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  e.  _V
4025, 39eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  Y  e. 
_V
41 mapex 7016 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  { f  |  f : X --> Y }  e.  _V )
4238, 40, 41mp2an 654 . . . . . 6  |-  { f  |  f : X --> Y }  e.  _V
43 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) )  ->  f : X
--> Y )
4443ss2abi 3407 . . . . . 6  |-  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) }  C_  { f  |  f : X --> Y }
4542, 44ssexi 4340 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) }  e.  _V
4623, 36, 1, 45ovmpt2 6201 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( S  GrpHom  T )  =  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) } )
4746eleq2d 2502 . . 3  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) } ) )
48 fex 5961 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4938, 48mpan2 653 . . . . 5  |-  ( F : X --> Y  ->  F  e.  _V )
5049adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) )  ->  F  e.  _V )
51 feq1 5568 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X --> Y  <->  F : X
--> Y ) )
52 fveq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( F `  (
u  .+  v )
) )
53 fveq1 5719 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  u )  =  ( F `  u ) )
54 fveq1 5719 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  v )  =  ( F `  v ) )
5553, 54oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) )
5652, 55eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) )  <->  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
57562ralbidv 2739 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
5851, 57anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u ) 
.+^  ( F `  v ) ) ) ) )
5950, 58elab3 3081 . . 3  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
6047, 59syl6bb 253 . 2  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
612, 60biadan2 624 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   Grpcgrp 14677    GrpHom cghm 14995
This theorem is referenced by:  isghm3  14999  ghmgrp1  15000  ghmgrp2  15001  ghmf  15002  ghmlin  15003  isghmd  15007  idghm  15013  ghmf1o  15027  islmhm2  16106  expghm  16769  mulgghm2  16778  pi1xfr  19072  pi1coghm  19078  rhmopp  24249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-ghm 14996
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