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Theorem isghm 15011
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w  |-  X  =  ( Base `  S
)
isghm.x  |-  Y  =  ( Base `  T
)
isghm.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
isghm.b  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
isghm  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, S    u, T, v    u, X, v    u,  .+ , v    u, Y, v    u,  .+^ , v    u, F, v

Proof of Theorem isghm
Dummy variables  t 
s  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 15009 . . 3  |-  GrpHom  =  ( s  e.  Grp , 
t  e.  Grp  |->  { f  |  [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) } )
21elmpt2cl 6291 . 2  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( S  e.  Grp  /\  T  e. 
Grp ) )
3 fvex 5745 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  s )  e.  _V
4 feq2 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( f : w --> ( Base `  t )  <->  f :
( Base `  s ) --> ( Base `  t )
) )
5 raleq 2906 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) ) ) )
65raleqbi1dv 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `
 ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) ) )
74, 6anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( (
f : w --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) )  <->  ( f : ( Base `  s
) --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  ( Base `  s
) A. v  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
83, 7sbcie 3197 . . . . . . 7  |-  ( [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) )  <->  ( f : ( Base `  s
) --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  ( Base `  s
) A. v  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
9 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
10 isghm.w . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  S
)
119, 10syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  X )
1211feq2d 5584 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
f : ( Base `  s ) --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> ( Base `  t
) ) )
13 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  S
) )
14 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .+  =  ( +g  `  S )
1513, 14syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  = 
.+  )
1615oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
u ( +g  `  s
) v )  =  ( u  .+  v
) )
1716fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( f `  (
u  .+  v )
) )
1817eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( f `  (
u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) )  <->  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
1911, 18raleqbidv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) )  <->  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
2011, 19raleqbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. u  e.  ( Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `
 ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
2112, 20anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( f : (
Base `  s ) --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  (
Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) ) )  <->  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
228, 21syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( [. ( Base `  s
)  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) )  <-> 
( f : X --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
2322abbidv 2552 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { f  |  [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) } )
24 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  ( Base `  T
) )
25 isghm.x . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( Base `  T
)
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  Y )
27 feq3 5581 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  t )  =  Y  ->  ( f : X --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> Y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
f : X --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> Y ) )
29 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  =  ( +g  `  T
) )
30 isghm.b . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
3129, 30syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  = 
.+^  )
3231oveqd 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) )
3332eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  <->  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) ) ) )
34332ralbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) ) ) )
3528, 34anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( f : X --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) )  <-> 
( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) ) )
3635abbidv 2552 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  { f  |  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) } )
37 fvex 5745 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  e.  _V
3810, 37eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
39 fvex 5745 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  e.  _V
4025, 39eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  Y  e. 
_V
41 mapex 7027 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  { f  |  f : X --> Y }  e.  _V )
4238, 40, 41mp2an 655 . . . . . 6  |-  { f  |  f : X --> Y }  e.  _V
43 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) )  ->  f : X
--> Y )
4443ss2abi 3417 . . . . . 6  |-  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) }  C_  { f  |  f : X --> Y }
4542, 44ssexi 4351 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) }  e.  _V
4623, 36, 1, 45ovmpt2 6212 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( S  GrpHom  T )  =  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) } )
4746eleq2d 2505 . . 3  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) } ) )
48 fex 5972 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4938, 48mpan2 654 . . . . 5  |-  ( F : X --> Y  ->  F  e.  _V )
5049adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) )  ->  F  e.  _V )
51 feq1 5579 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X --> Y  <->  F : X
--> Y ) )
52 fveq1 5730 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( F `  (
u  .+  v )
) )
53 fveq1 5730 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  u )  =  ( F `  u ) )
54 fveq1 5730 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  v )  =  ( F `  v ) )
5553, 54oveq12d 6102 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) )
5652, 55eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) )  <->  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
57562ralbidv 2749 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
5851, 57anbi12d 693 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u ) 
.+^  ( F `  v ) ) ) ) )
5950, 58elab3 3091 . . 3  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
6047, 59syl6bb 254 . 2  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
612, 60biadan2 625 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   Grpcgrp 14690    GrpHom cghm 15008
This theorem is referenced by:  isghm3  15012  ghmgrp1  15013  ghmgrp2  15014  ghmf  15015  ghmlin  15016  isghmd  15020  idghm  15026  ghmf1o  15040  islmhm2  16119  expghm  16782  mulgghm2  16791  pi1xfr  19085  pi1coghm  19091  rhmopp  24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-ghm 15009
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