MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishmeo Unicode version

Theorem ishmeo 17412
Description: The predicate F is a homeomorphism between topology  J and topology  K. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ishmeo  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem ishmeo
StepHypRef Expression
1 cnveq 4843 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21eleq1d 2324 . 2  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f  e.  ( K  Cn  J )  <->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
3 hmeofval 17411 . 2  |-  ( J 
Homeo  K )  =  {
f  e.  ( J  Cn  K )  |  `' f  e.  ( K  Cn  J ) }
42, 3elrab2 2900 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   `'ccnv 4660  (class class class)co 5792    Cn ccn 16916    Homeo chmeo 17406
This theorem is referenced by:  hmeocn  17413  hmeocnvcn  17414  hmeocnv  17415  hmeores  17424  hmeoco  17425  idhmeo  17426  indishmph  17451  cmphaushmeo  17453  ordthmeo  17455  txhmeo  17456  txswaphmeo  17458  pt1hmeo  17459  ptunhmeo  17461  xkohmeo  17468  qtopf1  17469  qtophmeo  17470  grpinvhmeo  17731  tgplacthmeo  17748  cncfcnvcn  18386  icchmeo  18401  cnrehmeo  18413  cnheiborlem  18414  ismtyhmeo  25896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-map 6742  df-top 16598  df-topon 16601  df-cn 16919  df-hmeo 17408
  Copyright terms: Public domain W3C validator