MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishmeo Unicode version

Theorem ishmeo 17444
Description: The predicate F is a homeomorphism between topology  J and topology  K. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ishmeo  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem ishmeo
StepHypRef Expression
1 cnveq 4854 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21eleq1d 2350 . 2  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f  e.  ( K  Cn  J )  <->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
3 hmeofval 17443 . 2  |-  ( J 
Homeo  K )  =  {
f  e.  ( J  Cn  K )  |  `' f  e.  ( K  Cn  J ) }
42, 3elrab2 2926 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   `'ccnv 4687  (class class class)co 5819    Cn ccn 16948    Homeo chmeo 17438
This theorem is referenced by:  hmeocn  17445  hmeocnvcn  17446  hmeocnv  17447  hmeores  17456  hmeoco  17457  idhmeo  17458  indishmph  17483  cmphaushmeo  17485  ordthmeo  17487  txhmeo  17488  txswaphmeo  17490  pt1hmeo  17491  ptunhmeo  17493  xkohmeo  17500  qtopf1  17501  qtophmeo  17502  grpinvhmeo  17763  tgplacthmeo  17780  cncfcnvcn  18418  icchmeo  18433  cnrehmeo  18445  cnheiborlem  18446  ismtyhmeo  25928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-map 6769  df-top 16630  df-topon 16633  df-cn 16951  df-hmeo 17440
  Copyright terms: Public domain W3C validator