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Theorem ishst 23700
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem ishst
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 22485 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
2 chex 22712 . . . 4  |-  CH  e.  _V
31, 2elmap 7028 . . 3  |-  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  <->  S : CH --> ~H )
43anbi1i 677 . 2  |-  ( ( S  e.  ( ~H 
^m  CH )  /\  (
( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )  <->  ( S : CH
--> ~H  /\  ( (
normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
5 fveq1 5713 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ~H )  =  ( S `  ~H ) )
65fveq2d 5718 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  (
normh `  ( S `  ~H ) ) )
76eqeq1d 2438 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  (
( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  <->  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1 ) )
8 fveq1 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  x )  =  ( S `  x ) )
9 fveq1 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  y )  =  ( S `  y ) )
108, 9oveq12d 6085 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  ( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
) )
1110eqeq1d 2438 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0 ) )
12 fveq1 5713 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ( x  vH  y ) )  =  ( S `  (
x  vH  y )
) )
138, 9oveq12d 6085 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( S `  y
) ) )
1412, 13eqeq12d 2444 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) )  <->  ( S `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( S `  x
)  +h  ( S `
 y ) ) ) )
1511, 14anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) )  <->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  (
( x  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( x  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
17162ralbidv 2734 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  ( A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( x 
C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) )  <->  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
187, 17anbi12d 692 . . 3  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( normh `  (
f `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  /\  ( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) ) ) ) )  <->  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
19 df-hst 23698 . . 3  |-  CHStates  =  {
f  e.  ( ~H 
^m  CH )  |  ( ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( f `  x ) 
.ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) ) ) }
2018, 19elrab2 3081 . 2  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
21 3anass 940 . 2  |-  ( ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )  <-> 
( S : CH --> ~H  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
224, 20, 213bitr4i 269 1  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2692    C_ wss 3307   -->wf 5436   ` cfv 5440  (class class class)co 6067    ^m cmap 7004   0cc0 8974   1c1 8975   ~Hchil 22405    +h cva 22406    .ih csp 22408   normhcno 22409   CHcch 22415   _|_cort 22416    vH chj 22419   CHStateschst 22449
This theorem is referenced by:  hstcl  23703  hst1a  23704  hstel2  23705  hstrlem3a  23746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-hilex 22485
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-map 7006  df-sh 22692  df-ch 22707  df-hst 23698
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