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Theorem ishst 22740
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem ishst
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 21525 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
2 chex 21752 . . . 4  |-  CH  e.  _V
31, 2elmap 6750 . . 3  |-  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  <->  S : CH --> ~H )
43anbi1i 679 . 2  |-  ( ( S  e.  ( ~H 
^m  CH )  /\  (
( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )  <->  ( S : CH
--> ~H  /\  ( (
normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
5 fveq1 5443 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ~H )  =  ( S `  ~H ) )
65fveq2d 5448 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  (
normh `  ( S `  ~H ) ) )
76eqeq1d 2264 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  (
( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  <->  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1 ) )
8 fveq1 5443 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  x )  =  ( S `  x ) )
9 fveq1 5443 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  y )  =  ( S `  y ) )
108, 9oveq12d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  ( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
) )
1110eqeq1d 2264 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0 ) )
12 fveq1 5443 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ( x  vH  y ) )  =  ( S `  (
x  vH  y )
) )
138, 9oveq12d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( S `  y
) ) )
1412, 13eqeq12d 2270 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) )  <->  ( S `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( S `  x
)  +h  ( S `
 y ) ) ) )
1511, 14anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) )  <->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )
1615imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  (
( x  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( x  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
17162ralbidv 2558 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  ( A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( x 
C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) )  <->  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
187, 17anbi12d 694 . . 3  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( normh `  (
f `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  /\  ( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) ) ) ) )  <->  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
19 df-hst 22738 . . 3  |-  CHStates  =  {
f  e.  ( ~H 
^m  CH )  |  ( ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( f `  x ) 
.ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) ) ) }
2018, 19elrab2 2893 . 2  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
21 3anass 943 . 2  |-  ( ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )  <-> 
( S : CH --> ~H  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
224, 20, 213bitr4i 270 1  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516    C_ wss 3113   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    ^m cmap 6726   0cc0 8691   1c1 8692   ~Hchil 21445    +h cva 21446    .ih csp 21448   normhcno 21449   CHcch 21455   _|_cort 21456    vH chj 21459   CHStateschst 21489
This theorem is referenced by:  hstcl  22743  hst1a  22744  hstel2  22745  hstrlem3a  22786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-hilex 21525
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-map 6728  df-sh 21732  df-ch 21747  df-hst 22738
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