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Theorem islbs3 16215
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs2.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
islbs3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) ) )
Distinct variable groups:    B, s    N, s    V, s    W, s    J, s

Proof of Theorem islbs3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 islbs2.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
31, 2lbsss 16137 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  B  C_  V )
43adantl 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  V )
5 islbs2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
61, 2, 5lbssp 16139 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  ( N `  B )  =  V )
76adantl 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( N `  B )  =  V )
8 lveclmod 16166 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
983ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  W  e.  LMod )
10 pssss 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( s 
C.  B  ->  s  C_  B )
1110, 3sylan9ssr 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  J  /\  s  C.  B )  -> 
s  C_  V )
12113adant1 975 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  s  C_  V )
131, 5lspssv 16047 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  ( N `  s )  C_  V )
149, 12, 13syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  C_  V )
15 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
1615lvecdrng 16165 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
17 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
18 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
1917, 18drngunz 15838 . . . . . . . . 9  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
2016, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
218, 20jca 519 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) ) )
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 16142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  =/=  V
)
2321, 22syl3an1 1217 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  =/=  V )
24 df-pss 3328 . . . . . 6  |-  ( ( N `  s ) 
C.  V  <->  ( ( N `  s )  C_  V  /\  ( N `
 s )  =/= 
V ) )
2514, 23, 24sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  C.  V )
26253expia 1155 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  (
s  C.  B  ->  ( N `  s ) 
C.  V ) )
2726alrimiv 1641 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
)
284, 7, 273jca 1134 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )
29 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  B  C_  V )
30 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  ( N `  B )  =  V )
31 simplr1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  B  C_  V )
3231ssdifssd 3477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  V )
33 fvex 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
341, 33eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
35 ssexg 4341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  \  {
x } )  C_  V  /\  V  e.  _V )  ->  ( B  \  { x } )  e.  _V )
3632, 34, 35sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  e. 
_V )
37 simplr3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  A. s ( s 
C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V ) )
38 difssd 3467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  B )
39 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
40 neldifsn 3921 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  e.  ( B  \  {
x } )
41 nelne1 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  ( B  \  { x }
) )  ->  B  =/=  ( B  \  {
x } ) )
4239, 40, 41sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  B  =/=  ( B 
\  { x }
) )
4342necomd 2681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  =/= 
B )
44 df-pss 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  { x } )  C.  B  <->  ( ( B  \  {
x } )  C_  B  /\  ( B  \  { x } )  =/=  B ) )
4538, 43, 44sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C.  B )
46 psseq1 3426 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( s  C.  B 
<->  ( B  \  {
x } )  C.  B ) )
47 fveq2 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
4847psseq1d 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( ( N `
 s )  C.  V 
<->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  C.  V
) )
4946, 48imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( ( s 
C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V )  <->  ( ( B  \  { x }
)  C.  B  ->  ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V
) ) )
5049spcgv 3028 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { x } )  e.  _V  ->  ( A. s ( s  C.  B  -> 
( N `  s
)  C.  V )  ->  ( ( B  \  { x } ) 
C.  B  ->  ( N `  ( B  \  { x } ) )  C.  V ) ) )
5136, 37, 45, 50syl3c 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  C.  V
)
52 dfpss3 3425 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V  <->  ( ( N `  ( B  \  { x }
) )  C_  V  /\  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )
5352simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V  ->  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
5451, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
55 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  B
)  =  V )
568ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
5732adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( B  \  {
x } )  C_  V )
58 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
591, 58, 5lspcl 16040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { x }
)  C_  V )  ->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
6056, 57, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  ( B  \  { x }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
61 ssun1 3502 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  ( B  u.  { x } )
62 undif1 3695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( B  u.  {
x } )
6361, 62sseqtr4i 3373 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( ( B  \  { x } )  u.  { x }
)
641, 5lspssid 16049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { x }
)  C_  V )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
6556, 57, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( B  \  {
x } )  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
66 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
6766snssd 3935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  { x }  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
6865, 67unssd 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( B  \  { x } )  u.  { x }
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
6963, 68syl5ss 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  B  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
7058, 5lspssp 16052 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( B  \  { x } ) )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  B  C_  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )  -> 
( N `  B
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7156, 60, 69, 70syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  B
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7255, 71eqsstr3d 3375 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
7372expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) )  ->  V  C_  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
7454, 73mtod 170 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
7574ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
761, 2, 5islbs2 16214 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
7776adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
7829, 30, 75, 77mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  B  e.  J )
7928, 78impbida 806 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312    C. wpss 3313   {csn 3806   ` cfv 5445   Basecbs 13457  Scalarcsca 13520   0gc0g 13711   1rcur 15650   DivRingcdr 15823   LModclmod 15938   LSubSpclss 15996   LSpanclspn 16035  LBasisclbs 16134   LVecclvec 16162
This theorem is referenced by:  obslbs  16945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-drng 15825  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lbs 16135  df-lvec 16163
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