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Theorem islinds2 26695
Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf.v  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
islindf.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
islindf.n  |-  N  =  ( Base `  S
)
islindf.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
islinds2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, x    k, N    k, W, x    .0. , k
Allowed substitution hints:    B( x, k)    S( x, k)    .x. ( x, k)    K( x, k)    N( x)    Y( x, k)    .0. ( x)

Proof of Theorem islinds2
StepHypRef Expression
1 islindf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
21islinds 26691 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
3 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
41, 3eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
54ssex 4158 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  F  e.  _V )
65adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  ->  F  e.  _V )
7 resiexg 4997 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  (  _I  |`  F )  e. 
_V )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F )  e.  _V )
9 islindf.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 islindf.k . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  W )
11 islindf.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
12 islindf.n . . . . 5  |-  N  =  ( Base `  S
)
13 islindf.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
141, 9, 10, 11, 12, 13islindf 26694 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  (  _I  |`  F )  e.  _V )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
158, 14syldan 456 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
1615pm5.32da 622 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W )  <->  ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) ) )
17 f1oi 5511 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F
18 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F  ->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  F ) : F --> F
20 dmresi 5005 . . . . . . . . 9  |-  dom  (  _I  |`  F )  =  F
2120feq2i 5384 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  <->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
2219, 21mpbir 200 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F
23 fss 5397 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2422, 23mpan 651 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2524biantrurd 494 . . . . 5  |-  ( F 
C_  B  ->  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
2620raleqi 2740 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )
27 fvresi 5711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  F  ->  (
(  _I  |`  F ) `
 x )  =  x )
2827oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  =  ( k  .x.  x
) )
2920difeq1i 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
)  =  ( F 
\  { x }
)
3029imaeq2i 5010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )
31 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
\  { x }
)  C_  F
32 resiima 5029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  \  { x } )  C_  F  ->  ( (  _I  |`  F )
" ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3430, 33eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3534fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K `
 ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
) ) )  =  ( K `  ( F  \  { x }
) )
3635a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  ( K `  ( (  _I  |`  F ) "
( dom  (  _I  |`  F )  \  {
x } ) ) )  =  ( K `
 ( F  \  { x } ) ) )
3728, 36eleq12d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  F  ->  (
( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  ( k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  F  ->  ( -.  ( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
3938ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  F  ->  ( A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4039ralbiia 2575 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4126, 40bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4241anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4325, 42syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( F 
C_  B  ->  (
( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4443pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4544a1i 10 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
462, 16, 453bitrd 270 1  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    _I cid 4304   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   LSpanclspn 15728   LIndF clindf 26686  LIndSclinds 26687
This theorem is referenced by:  lindsind  26699  lindfrn  26703  islbs4  26714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-lindf 26688  df-linds 26689
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