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Theorem islinds2 27262
Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf.v  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
islindf.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
islindf.n  |-  N  =  ( Base `  S
)
islindf.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
islinds2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, x    k, N    k, W, x    .0. , k
Allowed substitution hints:    B( x, k)    S( x, k)    .x. ( x, k)    K( x, k)    N( x)    Y( x, k)    .0. ( x)

Proof of Theorem islinds2
StepHypRef Expression
1 islindf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
21islinds 27258 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
3 fvex 5744 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
41, 3eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
54ssex 4349 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  F  e.  _V )
65adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  ->  F  e.  _V )
7 resiexg 5190 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  (  _I  |`  F )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F )  e.  _V )
9 islindf.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 islindf.k . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  W )
11 islindf.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
12 islindf.n . . . . 5  |-  N  =  ( Base `  S
)
13 islindf.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
141, 9, 10, 11, 12, 13islindf 27261 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  (  _I  |`  F )  e.  _V )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
158, 14syldan 458 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
1615pm5.32da 624 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W )  <->  ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) ) )
17 f1oi 5715 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F
18 f1of 5676 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F  ->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  F ) : F --> F
20 dmresi 5198 . . . . . . . . 9  |-  dom  (  _I  |`  F )  =  F
2120feq2i 5588 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  <->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
2219, 21mpbir 202 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F
23 fss 5601 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2422, 23mpan 653 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2524biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( F 
C_  B  ->  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
2620raleqi 2910 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )
27 fvresi 5926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  F  ->  (
(  _I  |`  F ) `
 x )  =  x )
2827oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  =  ( k  .x.  x
) )
2920difeq1i 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
)  =  ( F 
\  { x }
)
3029imaeq2i 5203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )
31 difss 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
\  { x }
)  C_  F
32 resiima 5222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  \  { x } )  C_  F  ->  ( (  _I  |`  F )
" ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3430, 33eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3534fveq2i 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K `
 ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
) ) )  =  ( K `  ( F  \  { x }
) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  ( K `  ( (  _I  |`  F ) "
( dom  (  _I  |`  F )  \  {
x } ) ) )  =  ( K `
 ( F  \  { x } ) ) )
3728, 36eleq12d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  F  ->  (
( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  ( k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  F  ->  ( -.  ( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
3938ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  F  ->  ( A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4039ralbiia 2739 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4126, 40bitri 242 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4241anbi2i 677 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4325, 42syl6rbbr 257 . . . 4  |-  ( F 
C_  B  ->  (
( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4443pm5.32i 620 . . 3  |-  ( ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4544a1i 11 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
462, 16, 453bitrd 272 1  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214    _I cid 4495   dom cdm 4880    |` cres 4882   "cima 4883   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725   LSpanclspn 16049   LIndF clindf 27253  LIndSclinds 27254
This theorem is referenced by:  lindsind  27266  lindfrn  27270  islbs4  27281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-lindf 27255  df-linds 27256
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