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Theorem islocfin 26060
Description: The statement "is a locally finite cover." (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
islocfin.1  |-  X  = 
U. J
islocfin.2  |-  Y  = 
U. A
Assertion
Ref Expression
islocfin  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    n, s, x, A    n, J, x   
x, X
Allowed substitution hints:    J( s)    X( n, s)    Y( x, n, s)

Proof of Theorem islocfin
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-locfin 26030 . . . . 5  |-  LocFin  =  ( j  e.  Top  |->  { y  |  ( U. j  =  U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
21dmmptss 5299 . . . 4  |-  dom  LocFin  C_  Top
3 elfvdm 5690 . . . 4  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  J  e.  dom  LocFin )
42, 3sseldi 3282 . . 3  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  J  e.  Top )
5 eqimss2 3337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  U. y  ->  U. y  C_  X )
6 sspwuni 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  C_  ~P X
)
8 vex 2895 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
98elpw 3741 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P ~P X  <->  y 
C_  ~P X )
107, 9sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  e.  ~P ~P X )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  y  e.  ~P ~P X )
1211abssi 3354 . . . . . . 7  |-  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  C_  ~P ~P X
13 islocfin.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
1413topopn 16895 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
15 pwexg 4317 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  J  ->  ~P X  e.  _V )
16 pwexg 4317 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ~P ~P X  e.  _V )
1714, 15, 163syl 19 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ~P ~P X  e.  _V )
18 ssexg 4283 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  C_  ~P ~P X  /\  ~P ~P X  e.  _V )  ->  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )
1912, 17, 18sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )
20 unieq 3959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2120, 13syl6eqr 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  X )
2221eqeq1d 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( U. j  =  U. y 
<->  X  =  U. y
) )
23 rexeq 2841 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  ( E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2421, 23raleqbidv 2852 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2522, 24anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( U. j  = 
U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
2625abbidv 2494 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  { y  |  ( U. j  =  U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  =  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2726, 1fvmptg 5736 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )  ->  ( LocFin `  J )  =  {
y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2819, 27mpdan 650 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( LocFin `
 J )  =  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2928eleq2d 2447 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( LocFin `  J )  <->  A  e.  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } ) )
30 elex 2900 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  ->  A  e.  _V )
3130adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )  ->  A  e.  _V )
32 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  =  Y )
33 islocfin.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. A
3432, 33syl6eq 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  =  U. A
)
3514adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  e.  J )
3634, 35eqeltrrd 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  U. A  e.  J
)
37 elex 2900 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  e.  J  ->  U. A  e.  _V )
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  U. A  e.  _V )
39 uniexb 4685 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
4038, 39sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  A  e.  _V )
4140adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )  ->  A  e.  _V )
42 unieq 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
4342, 33syl6eqr 2430 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  Y )
4443eqeq2d 2391 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  Y ) )
45 rabeq 2886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  =  {
s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) } )
4645eleq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin 
<->  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
4746anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
4847rexbidv 2663 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
4948ralbidv 2662 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
5044, 49anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5150elabg 3019 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5231, 41, 51pm5.21nd 869 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5329, 52bitrd 245 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( LocFin `  J )  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
544, 53biadan2 624 . 2  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
55 3anass 940 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5654, 55bitr4i 244 1  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   dom cdm 4811   ` cfv 5387   Fincfn 7038   Topctop 16874   LocFinclocfin 26026
This theorem is referenced by:  finlocfin  26063  locfintop  26064  locfinbas  26065  locfinnei  26066  locfindis  26069  locfincf  26070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-top 16879  df-locfin 26030
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