Theorem islpi 7728

Description: A point belonging to a set's closure but not the set itself is a limit point.

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
islpi	|- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ (P e. ((cls` J)` S) /\ -. P e. S)) -> P e. ((limPt` J)` S))

Proof of Theorem islpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2	1	clslp 7727	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))
3	2	eleq2d 1540	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (P e. ((cls` J)` S) <-> P e. (S u. ((limPt` J)` S))))
4		elun 2171	. . . . 5 |- (P e. (S u. ((limPt` J)` S)) <-> (P e. S \/ P e. ((limPt` J)` S)))
5		df-or 224	. . . . 5 |- ((P e. S \/ P e. ((limPt` J)` S)) <-> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S)))
6	4, 5	bitr 173	. . . 4 |- (P e. (S u. ((limPt` J)` S)) <-> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S)))
7	3, 6	syl6bb 535	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (P e. ((cls` J)` S) <-> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S))))
8	7	biimpd 153	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (P e. ((cls` J)` S) -> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S))))
9	8	imp32 363	1 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ (P e. ((cls` J)` S) /\ -. P e. S)) -> P e. ((limPt` J)` S))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   u. cun 2043   (_ wss 2045  U.cuni 2500  ` cfv 3179  Topctop 7567  clsccl 7641  limPtclp 7719

This theorem is referenced by:  metelcls 7948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-top 7571  df-cld 7642  df-ntr 7643  df-cls 7644  df-nei 7692  df-lp 7720

Copyright terms: Public domain