Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol3 Structured version   Unicode version

Theorem islvol3 30373
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islvol3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islvol3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islvol3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islvol3.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
islvol3.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  P  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    y, p, B    K, p, y   
.<_ , p    P, p, y    X, p, y
Allowed substitution hints:    A( y)    .\/ ( y, p)   
.<_ ( y)    V( y, p)

Proof of Theorem islvol3
StepHypRef Expression
1 islvol3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2436 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 islvol3.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
4 islvol3.v . . 3  |-  V  =  ( LVols `  K )
51, 2, 3, 4islvol4 30371 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  P  y (  <o  `  K ) X ) )
6 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  K  e.  HL )
71, 3lplnbase 30331 . . . . . 6  |-  ( y  e.  P  ->  y  e.  B )
87adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  y  e.  B )
9 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  X  e.  B )
10 islvol3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 islvol3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 islvol3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 30210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  (
y  .\/  p )  =  X ) ) )
146, 8, 9, 13syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X ) ) )
15 eqcom 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .\/  p )  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P )  /\  p  e.  A )  ->  (
( y  .\/  p
)  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) ) )
1716anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p
) ) ) )
1817rexbidva 2722 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p
)  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
1914, 18bitrd 245 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
2019rexbidva 2722 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  P  y (  <o  `  K ) X  <->  E. y  e.  P  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
215, 20bitrd 245 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  P  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401    <o ccvr 30060   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LPlanesclpl 30289   LVolsclvol 30290
This theorem is referenced by:  lvoli3  30374  islvol5  30376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lplanes 30296  df-lvols 30297
  Copyright terms: Public domain W3C validator