Theorem ismeti 7741

Description: Properties that determine a metric.

Hypotheses

Ref	Expression
ismeti.0	|- X e. V
ismeti.1	|- D:(X X. X)-->RR
ismeti.2	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((xDy) = 0 <-> x = y))
ismeti.3	|- ((x e. X /\ y e. X /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))

Assertion

Ref	Expression
ismeti	|- D e. Met

Distinct variable groups:   x,y,z,D   x,X,y,z

Proof of Theorem ismeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeti.1	. . . 4 |- D:(X X. X)-->RR
2		ismeti.0	. . . . 5 |- X e. V
3	2, 2	xpex 3250	. . . 4 |- (X X. X) e. V
4		fex 3637	. . . 4 |- ((D:(X X. X)-->RR /\ (X X. X) e. V) -> D e. V)
5	1, 3, 4	mp2an 695	. . 3 |- D e. V
6		fdm 3617	. . . . . . 7 |- (D:(X X. X)-->RR -> dom D = (X X. X))
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . 6 |- dom D = (X X. X)
8	7	dmeqi 3301	. . . . 5 |- dom dom D = dom ( X X. X)
9		dmxpid 3322	. . . . 5 |- dom ( X X. X) = X
10	8, 9	eqtr2 1488	. . . 4 |- X = dom dom D
11	10	ismet 7737	. . 3 |- (D e. V -> (D e. Met <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
12	5, 11	ax-mp 7	. 2 |- (D e. Met <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
13		ismeti.2	. . . 4 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((xDy) = 0 <-> x = y))
14		ismeti.3	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ y e. X /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
15	14	3expa 831	. . . . 5 |- (((x e. X /\ y e. X) /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
16	15	r19.21aiva 1706	. . . 4 |- ((x e. X /\ y e. X) -> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
17	13, 16	jca 288	. . 3 |- ((x e. X /\ y e. X) -> (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
18	17	rgen2a 1691	. 2 |- A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
19	12, 1, 18	mpbir2an 728	1 |- D e. Met

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  dom cdm 3160  -->wf 3168  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267  Metcme 7728

This theorem is referenced by:  metxp 7774  cnmet 7843  dscmet 7856  imsmetlem 8261

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-met 7732

Copyright terms: Public domain