Theorem ismgra 10613

Description: The predicate "is a directed multi graph".

Assertion

Ref	Expression
ismgra	|- ((D e. A /\ C e. B /\ U e. F) -> (<.<.D, C>., U>. e. Dgra <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))

Proof of Theorem ismgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 3626	. . . . 5 |- (d = D -> (d:dom d-->u <-> D:dom d-->u))
2		dmeq 3317	. . . . . 6 |- (d = D -> dom d = dom D)
3		feq2 3627	. . . . . 6 |- (dom d = dom D -> (D:dom d-->u <-> D:dom D-->u))
4	2, 3	syl 10	. . . . 5 |- (d = D -> (D:dom d-->u <-> D:dom D-->u))
5	1, 4	bitrd 530	. . . 4 |- (d = D -> (d:dom d-->u <-> D:dom D-->u))
6		feq2 3627	. . . . 5 |- (dom d = dom D -> (c:dom d-->u <-> c:dom D-->u))
7	2, 6	syl 10	. . . 4 |- (d = D -> (c:dom d-->u <-> c:dom D-->u))
8	5, 7	anbi12d 630	. . 3 |- (d = D -> ((d:dom d-->u /\ c:dom d-->u) <-> (D:dom D-->u /\ c:dom D-->u)))
9		feq1 3626	. . . 4 |- (c = C -> (c:dom D-->u <-> C:dom D-->u))
10	9	anbi2d 618	. . 3 |- (c = C -> ((D:dom D-->u /\ c:dom D-->u) <-> (D:dom D-->u /\ C:dom D-->u)))
11		feq3 3628	. . . 4 |- (u = U -> (D:dom D-->u <-> D:dom D-->U))
12		feq3 3628	. . . 4 |- (u = U -> (C:dom D-->u <-> C:dom D-->U))
13	11, 12	anbi12d 630	. . 3 |- (u = U -> ((D:dom D-->u /\ C:dom D-->u) <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))
14	8, 10, 13	eloprabg 4013	. 2 |- ((D e. A /\ C e. B /\ U e. F) -> (<.<.D, C>., U>. e. {<.<.d, c>., u>. | (d:dom d-->u /\ c:dom d-->u)} <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))
15		df-mgra 10612	. . 3 |- Dgra = {<.<.d, c>., u>. | (d:dom d-->u /\ c:dom d-->u)}
16	15	eleq2i 1541	. 2 |- (<.<.D, C>., U>. e. Dgra <-> <.<.D, C>., U>. e. {<.<.d, c>., u>. | (d:dom d-->u /\ c:dom d-->u)})
17	14, 16	syl5bb 534	1 |- ((D e. A /\ C e. B /\ U e. F) -> (<.<.D, C>., U>. e. Dgra <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  dom cdm 3176  -->wf 3184  {copab2 3970  Dgracmgra 10611

This theorem is referenced by:  aidm 10654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-oprab 3972  df-mgra 10612

Copyright terms: Public domain