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Theorem ismrer1 26665
Description: An isometry between  RR and  RR ^ 1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1  |-  R  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
ismrer1.2  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  { x } ) )
Assertion
Ref Expression
ismrer1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    R( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables  k 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3664 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  { y }  =  { A } )
21xpeq1d 4728 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( { y }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
32mpteq2dv 4123 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  {
x } ) ) )
4 ismrer1.2 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  { x } ) )
53, 4syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  F )
6 f1oeq1 5479 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  F  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { y } ) ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { y } ) ) )
81oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( RR  ^m  { y } )  =  ( RR 
^m  { A }
) )
9 f1oeq3 5481 . . . . 5  |-  ( ( RR  ^m  { y } )  =  ( RR  ^m  { A } )  ->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
117, 10bitrd 244 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
12 eqid 2296 . . . 4  |-  { y }  =  { y }
13 reex 8844 . . . 4  |-  RR  e.  _V
14 vex 2804 . . . 4  |-  y  e. 
_V
15 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  {
x } ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )
1612, 13, 14, 15mapsnf1o3 6832 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  {
x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )
1711, 16vtoclg 2856 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) )
18 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1918xpeq2d 4729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( { A }  X.  { y } ) )
20 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { A }  e.  _V
21 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x }  e.  _V
2220, 21xpex 4817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A }  X.  {
x } )  e. 
_V
2319, 4, 22fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  ( { A }  X.  { y } ) )
2423fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
) `  A )  =  ( ( { A }  X.  {
y } ) `  A ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( F `  y ) `  A
)  =  ( ( { A }  X.  { y } ) `
 A ) )
26 snidg 3678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
27 fvconst2g 5743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A  e.  { A } )  ->  (
( { A }  X.  { y } ) `
 A )  =  y )
2814, 26, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { A }  X.  { y } ) `
 A )  =  y )
2925, 28sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y ) `  A )  =  y )
30 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
3130xpeq2d 4729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( { A }  X.  { z } ) )
3231, 4, 22fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  ->  ( F `  z )  =  ( { A }  X.  { z } ) )
3332fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( F `  z
) `  A )  =  ( ( { A }  X.  {
z } ) `  A ) )
3433adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( F `  z ) `  A
)  =  ( ( { A }  X.  { z } ) `
 A ) )
35 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
36 fvconst2g 5743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  _V  /\  A  e.  { A } )  ->  (
( { A }  X.  { z } ) `
 A )  =  z )
3735, 26, 36sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { A }  X.  { z } ) `
 A )  =  z )
3834, 37sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  z ) `  A )  =  z )
3929, 38oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) )  =  ( y  -  z
) )
4039oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( y  -  z ) ^ 2 ) )
41 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  -  z
)  e.  RR )
4241adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y  -  z )  e.  RR )
43 absresq 11803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  -  z )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 )  =  ( ( y  -  z ) ^
2 ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) ) ^
2 )  =  ( ( y  -  z
) ^ 2 ) )
4540, 44eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) )
4642recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
4746abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  e.  RR )
4847recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  e.  CC )
4948sqcld 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) ) ^
2 )  e.  CC )
5045, 49eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  e.  CC )
51 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  y
) `  k )  =  ( ( F `
 y ) `  A ) )
52 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  z
) `  k )  =  ( ( F `
 z ) `  A ) )
5351, 52oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) )  =  ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) )
5453oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) ) ^
2 ) )
5554sumsn 12229 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) ^ 2 ) )
5650, 55syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  sum_ k  e. 
{ A }  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) ) ^
2 ) )
5756, 45eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  sum_ k  e. 
{ A }  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( y  -  z
) ) ^ 2 ) )
5857fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  (
( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) ) )
5946absge0d 11942 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
6047, 59sqrsqd 11918 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr `  ( ( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
6158, 60eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
62 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  ->  F : RR --> ( RR  ^m  { A } ) )
6317, 62syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  F : RR --> ( RR  ^m  { A } ) )
64 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( RR 
^m  { A }
)  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )
6563, 64sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( RR 
^m  { A }
) )
66 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( RR 
^m  { A }
)  /\  z  e.  RR )  ->  ( F `
 z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )
6763, 66sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  z  e.  RR )  ->  ( F `  z
)  e.  ( RR 
^m  { A }
) )
6865, 67anim12dan 810 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( RR  ^m  { A } )  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) ) )
69 snfi 6957 . . . . . 6  |-  { A }  e.  Fin
70 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( RR 
^m  { A }
)  =  ( RR 
^m  { A }
)
7170rrnmval 26655 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  ( F `  y )  e.  ( RR  ^m  { A } )  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )  -> 
( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
7269, 71mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( RR 
^m  { A }
)  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )  -> 
( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
7368, 72syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )
( Rn `  { A } ) ( F `
 z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
74 ismrer1.1 . . . . . 6  |-  R  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
7574remetdval 18311 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y R z )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
7675adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y R z )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
7761, 73, 763eqtr4rd 2339 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y R z )  =  ( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) ) )
7877ralrimivva 2648 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) )
7974rexmet 18313 . . 3  |-  R  e.  ( * Met `  RR )
8070rrnmet 26656 . . . 4  |-  ( { A }  e.  Fin  ->  ( Rn `  { A } )  e.  ( Met `  ( RR 
^m  { A }
) ) )
81 metxmet 17915 . . . 4  |-  ( ( Rn `  { A } )  e.  ( Met `  ( RR 
^m  { A }
) )  ->  ( Rn `  { A }
)  e.  ( * Met `  ( RR 
^m  { A }
) ) )
8269, 80, 81mp2b 9 . . 3  |-  ( Rn
`  { A }
)  e.  ( * Met `  ( RR 
^m  { A }
) )
83 isismty 26628 . . 3  |-  ( ( R  e.  ( * Met `  RR )  /\  ( Rn `  { A } )  e.  ( * Met `  ( RR  ^m  { A }
) ) )  -> 
( F  e.  ( R  Ismty  ( Rn `  { A } ) )  <->  ( F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  /\  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) ) ) )
8479, 82, 83mp2an 653 . 2  |-  ( F  e.  ( R  Ismty  ( Rn `  { A } ) )  <->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  /\  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) ) )
8517, 78, 84sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752    - cmin 9053   2c2 9811   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   abscabs 11735   sum_csu 12174   * Metcxmt 16385   Metcme 16386    Ismty cismty 26625   Rncrrn 26652
This theorem is referenced by:  reheibor  26666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ismty 26626  df-rrn 26653
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