Theorem ismsi 7751

Description: Properties that determine a metric space.

Hypotheses

Ref	Expression
ismsi.0	|- D e. V
ismsi.1	|- D:(X X. X)-->RR
ismsi.2	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((xDy) = 0 <-> x = y))
ismsi.3	|- ((x e. X /\ y e. X /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
ismsi.4	|- M = <.X, D>.

Assertion

Ref	Expression
ismsi	|- M e. MetSp

Distinct variable groups:   x,y,z,D   x,X,y,z

Proof of Theorem ismsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismsi.4	. 2 |- M = <.X, D>.
2		ismsi.0	. . . 4 |- D e. V
3		ismsg 7750	. . . 4 |- (D e. V -> (<.X, D>. e. MetSp <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (<.X, D>. e. MetSp <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
5		ismsi.1	. . 3 |- D:(X X. X)-->RR
6		ismsi.2	. . . . 5 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((xDy) = 0 <-> x = y))
7		ismsi.3	. . . . . . 7 |- ((x e. X /\ y e. X /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
8	7	3expa 832	. . . . . 6 |- (((x e. X /\ y e. X) /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
9	8	r19.21aiva 1711	. . . . 5 |- ((x e. X /\ y e. X) -> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
10	6, 9	jca 288	. . . 4 |- ((x e. X /\ y e. X) -> (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
11	10	rgen2a 1696	. . 3 |- A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
12	4, 5, 11	mpbir2an 729	. 2 |- <.X, D>. e. MetSp
13	1, 12	eqeltr 1541	1 |- M e. MetSp

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  Vcvv 1807  <.cop 2407   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  -->wf 3173  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   <_ cle 5275  MetSpcmt 7740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-met 7743  df-ms 7744

Copyright terms: Public domain